i < sJTi.n^ (-Vi
qui résultent d'une formule donnée par M. Liouvillc [Journal de Malhématiques^ t. IV, p. 32i).
SOLUTION DE LA QUESTION 47g
(voir t. XVI II, p. 171);
Par m. g. WIART,
Élève du lycée de Douai (classe de M. David).
A, B, C, trois points fixes j AB = C, BC = flf, CA = i ;
<x, (3, y, distances respectives des trois points à une droite fixe : on a
flV -h A'p» -h <:»7> - (fl» + ^> — c») ap — (^» + c» — a») py S = aire du triangle ABC (Salmon).
( a84 ) Soient
AA' = a, BB'=p, CC'=7, on a
surf. AA'C'CB = - (p -h 7) B'C -4- i (p -4- «) A'B',
surf. AA' ce = 1 (a + 7) B' C -+- i (a -h 7) A'B',
d OÙ, en retranchant, on tire
aS = (p - a) B'C 4- (P - 7) A' B'. Élevant les deux membres au carre, il vient
4S^=(p-«)>B^'V(p-7rÂ^'+2(p-«)(p-.7) XB'C'XA'B'.
Par Cj je mène une parallèle à A'C'5 dans le triangle rectangle ADC, on a
ÂC - Âd'= (A'B' -4- B'C')% ou
(i) ÂC — ÂD— ÂTb''— B^''=aA'B'xB'C'.
Par les points A et C, je mène des parallèles à A'C et dans les triangles ABF, BEC ainsi formés, on a
Âf' ou A/W= c» - (p — «)% et
ÊC * ou B^''= «J — (p yy.
Je porte dans (1) ces valeurs de A'B' et B'C et je remplace AC et AD par leur valeur, on a
(a85) OU, toute réduction faite,
*'— c'--€i»-*-2(p»4-«7 — p« — p7) = 2A'B'XB'C'. •
On remarque ici que (Ç^^'+' «y — (3a — (Sy) est dgal au produit (P — a) ((3 — y). Je remplace maintenant dans l'expression de 4 S*, 2 A'B' X B'C par sa valeur trouvée et je
remplace B'C, A' B' par leur valeur, on obtient
ou
4S» = ii'(p~«)'H-c'(p-7)'-f (p-a)(p-.7)(ft' — a^-^).
En efîectuant les calculs et les réductions et disposant les termes convenablement, on arrive à la relation
fl»a» + é' p' + c'7» -. (a^ 4- *' — c») ap — (b' -h c' — a>) P7 — (^«4. c» — ^»j ay = 4S'.
RAYONS DE GOIIRDURE.
Tromr l'qiatioo de la coirbe telle, que ses rayons de conrbnre soient Tis d'n point donné sons nn angle donné ;
Pae m. h. LECOCQ,
Licencié es Sciences mathématiques , Maître répétiteur au lycée Louis-le-Grand.
En prenant ]e point donné pour origine des coordonnées et désignant par x,y, r, 0 les coordonnées rectangulaires p.t nnlaîrns. nn a
laires et polaires, on a
langO = '^
( 286 ) D'un autre côté, le rayon vecteur mené de rorigîne au centre de courbure fait avec l'axe des x un angle u dont la tangente est le rapport de Fordonnée à l'abscisse de ce centre, savoir
tangw = ï
petg étant respectivement ^aux à -^ et -r^- On doit donc avoir , en appelant K la tangente de Tangle donné ,
R=7 tang(a> — 0),
ce qui conduit à l'équation différentielle du deuxième ordre
Cette équation étant homogène par rapport à x, j^, dx, dy^ d* y^ on sait que si l'on pose
X Qi dx disparaissent : on obtient en effet par ces substitutions
(i) K[Q(i+ «0 4- (I -4-/>») [u^p)\ = (i +/,»)(! ^pa)',
on sait aussi qu'alors on doit avoir
du __dp ^ Yidp[\ + it^)
p-u q (i-t-/'')(n-/»«) + K(n-/;')(;»-«)' or si l'on pose encore
/; = cangç, a = tangO,
( a87 ) d'où Ton tire
da dB
Téquation (2) se transformera finalement dans Téquation
(3) ^G=Ktang(ç — 0).rf(y — 0).
En intégrant, on en tire
— - =LVAcos(ç — 0),
A désignant une constante arbitraire.
Passant aux exponentielles et développant le cosinus en se servant des relations
siDcp = -7-» sm0 = -ï
^ ds r
dx ^ X
on trouve facilement
C0S<p=-;-> COS0=:-î
^ ds r
d'où
L'équation cherchée se trouvera en intégrant de nou-
{ ^ss )
veau. On obtient ainsi
