L.B/- = KarctaDg
VaXT,,
B étant une seconde constante arbitraire. On peut remarquer que la formule
dr
donne la tangente trigonométrique de Vangle que fait la tangente en un point quelconque de la courbe avec le rayon vecteur de ce point.
Si Ton suppose K=o, on en conclut dr==o ou r = constante. C'est-à-dire que la courbe se réduit à une circonférence dont le point de vue est le centre. De ce point on voit en effet les différents rayons sous un angle nul. La valeur de z est infinie, car la tangente est perpendiculaire à Textrémité du rayon.
Si Ton suppose K = oo , Téquaiion donne pour z une valeur constante, propriété qui appartient à une spirale logarithmique. Dans ce cas on voit que tous les triangles qui ont pour sommet le point de vue et pour base le rayon de courbure sont tous semblables entre eux, car ils sont rectangles et ont un angle aigu égal dont la tangente est
- : il en résulte que le rayon de courbure est proportionnel au rayon vecteur.
En général , les coordonnées du centre de courbure a et (3 seront
q I H- Ka
( »89 ) en se servant des valeurs
xz^jr __ (i-f a')(i4-Kz)/'
Les valeurs de a et |3 donnent
^^ (iH-K^)'
Or z n'étant fonction que de -> il en résulte qu'entre
les deux équations précédentes et celle de la courbe y on peut facilement éliminer a: et /, ce qui conduit à l'équation de la développée qui est , eu appelant y Tangie donné dont la tangente est K,
Br r t/ ^(^-y) 1
L ■ -h L II -h K arc tang \ ke^ — i J
= K arc tang y ke'^ — - 1 .
Le valeur générale du rayon de courbure est
Ann, de Mathénmt., t. XIX. (Août 1860.) I9
PROPRIÉTÉS BES TETRAEDRES CONAMHltS RJUIS LES SURFACES nu SECOND REfiRtiT
et soIntioB de la q^iestion. 524 (Fasre);
Par m. PAINVIN,
Professeur.
1 . Un tétraèdre est dit conjugué lorsque chacun de ses sommets est le pôle du plan qui passe par les trois autres.
Je désignerai par M, , M, y M, , M4 les quatre' sommets d*un semblable tétraèdre, et par (a:,, /i, ^1 ), (jc,, j,, Zt) (•^8T.!r*y ^«)) (•^»i/*î ^i) ^^^^ coordonnées- respectÎTes.
1**. Surfaces à centre.
