Prenons, par exemple, Tellipaoïde

Posons

ri Xz

fli

où /i, = a, = Us = tfii = 1 1

Dr =

dur

Si Ton se rappelle que l'équation d'un plan passant par les trois points M„ Mj, M* peut se mettre sous la forme

r ji xi Xi

Z Zf 2j Z4

qu*on identifie cette équation avec celle du plan polairt*

( ^9» ) (lu point Ml, savoir :

et qu on opère de la même manière pour les quatre sommets Ml, Ms, M), M4, on obtient les douze relations suivantes

^r '(Tr rf«r

OÙ

Remarquons tout de suite que D est égal à six fois le volume du tétraèdre Mt Mt M g M4 ^ Di à six fois le volume ,du tétraèdre OM, M, M4 ; D, à six fois le volume de OMsMiMi, etc. ^ O est le centre de l'ellipsoïde.

3. Les formules bien connues du développement d'un déterminant au moyen de ses déterminants dérivés^ appliquées au déterminant D, en ayant égard aux relations (3), nous conduisent aux égalités suivaiites :

{ D,j.;H-D,jr;-f-D3.r;-4-D4^; H- fl»D = o,

(5) D.r;-f.D,r;-f-D3jî-f-D,j;-i-ft'D = o,

( D, «ÎH-D.zî-f-DjZÎ-f-Di z] -+-r»D = o; i D-r,/, -+- DaX,/, -f- D,a:s73-+-D4a:4r4 = o, (6) 1 D, ar, 3, -h D, Xi Zi -h D3 X3 «3 -h D4 j:4 «4 = o, D,^,», -i-D,7,Za-f.D3j3«i-T- 04/424 = 0;

( ^9^ ) Les six dernières relalioiis (8) sont suffisantes pour exprimer que le tétraèdre Mi Ms Mg M4 est conjugue^ car elles indiquent que le plan polaire d'un quelconque de ses sommets passe par les trois autres.

4. Cherchons maintenant Téquation de la sphère circonscrite au tétraèdre en question. Si,

or' -h j' -f- 3' -H 2 nijc -f- 2 /?/ 4- npz + 7 = 0

étant Téquation de cette sphère, ou exprime qu'elle passe par les quatre sommets^ l'élimination de m, /z, p^ q entre les cinq équations obtenues nous donnera pour Téquation de la sphère circonscrite

on a pose

HX 7. y 23

On voit facilement qu'en représentant par X, Y, Z les coordonnées du centre de la sphère et par L* le carré de la tangente menée de l'origine à cette sphère, on a les relations suivantes :

, i/D , dû , r/D 2DX = r — + r — 4- '^^ ■

«X, rtXj rtJTa

^ ^ . 2DY = r — -hr;— -hrî— . Il) ( ^fy dy^ ^ dy^

'^di:

r^r, i^B - dD dû ,dD

dzt dz^ dz^ ' //«<

- DU= r\ D, -h r; D, -h r\ D3 4- ^I D, .

5. Les formules que je viens d'établir penncttent de constater de nombreuses propriétés relatives aux tétraè-* dres conjugués. Je signalerai les suivantes.

f^es égalités (5), ajoutées membre à membre, donnent (12) D,r;-hD,rJ-hDar;-hD4r;-h D(a'-i- Zp» + c') = o. D'où

Théorème I. Désignant par V le volume d'un té^ traèdre conjugué Mi M, Mj M^, par Vj celui de OM, MjM* , par V, celui de 0^1» M4 M, j etc., on aura entre ces volumes la relation constante

V («»4-^*4-c«) == V. .Ôm!^- Vj.ÔmI 4- V3.ÔMÎ + V4.ÔM' .

Les volumes Vj, Vt, V,, V* doivent être affectés d'un signe tel, que leur somme soit égale V(4); O est le centre de rellipsoïde.

6. Le déterminant D peut s'écrire des deux manières suivantes :

D r= abc

.ri b

— D == abc

jr^

ÏK

F2ffectuons par coloiineb la multiplication de ces deux dé»

( 394 ) ÛBaott : en Ciîsanl inlcrtmir les rrlatioMS 1 7) et (8), on troQTe

D. Ds D, D,

On en condnt que

TnéomÊME D. Entre les volumes V, V,, V„ V,, \\ et le tétraèdre construit sur les axes de V^lipscide^ on a la relation constante