U4-XV
( 348 ) Qu'il soit
0 = o est la condition, ou que les sonunets d'un triangle conjugué à U soient i fa circonférence de V, ou bien que les côtés d'un triangle conjugué à Y touchent U. Formons donc le discriminant de
. Nous trouvons
0 = 0 donne le théorème du capitaine Faure.
0^^ o est la relation entre les coordonnées du centre et le rayon d'un cercle inscrit à un triangle conjugué de Tellipse.
Ainsi :
On donne un triangle conjugué à une hyperbole équitatère : le centre du cercle inscrit au triangle est sur la circonférence de V hyperbole.
On donne un triangle conjugué à une parabole^ le centre du cercle circonscrit est sur la directrice. Etc., eic.
Je remarque aussi que la méthode la plus facile de former Téquation de la courbe parallèle à une ellipse (c'est-à-dire la courbe dont la distance à l'ellipse mesurée sur les normales de Tellipse est constante = r) est comme suit :
( 349 ) Il est seulement néceffsaire de former le discriminant de Téquatiâin
A 4- >e -h >'e' 4- XM' = o,
où A, etc., ont les valeurs données ci-dessus.
De même, on trouve l'équation de la surface parallèle à
en formant le discriminant en X du discriminant de
Ainsi on trouve Téqualion de la surface parallèle, sous la forme,
QUESTION DU GRAND GONÉOllRS DE MATHÉMATIQUES SPÉCULES (JUILLET 1860);
Pae m. LEMOINE,
Élève du Prytanée Militaire.
Étant donnés deux ellipsoïdes A et B, trouver le lieu des sommets des trièdtes dont les faces sont tangentes à K et parallèles à trois plans diamétraux conjugués de B.
Lemme. On peut supposer A et B concentriques; car en transportant B, par exemple, parallèlement à lui-même jusqu^à ce que son centre coïncide avec celui de A, on ne changera pas la direction des diamètres conjugués.
( 35o ) Soient alom
(a) Ax* -h A>»-+- A^z' ■+- 2B«r -H aB';rz -+- aB^'x/ -h F = o, (p) A,x»H- A', j'-h A,V -f- 2B,»r-+- aBT.xz^ îB'xrH-F^ =o,
les équations des deux ellipsoïdes. ^
Soit
X = /HZ, J^ = *,
les équations d'une droite. Les plans diamétraux correspondants à cette direction de cordes seront dans les deux ellipsoïdes
(km -h B'-+- B''n)x -f- (A'ii+ B H- B''m]ir-I-(A^+ B/H- B'iw> = o, (A,/w+B'.4-B>)x-h(A>-hB,4-B*;/?i>+(A' +B,/i-hB',iit «=ro.
Si
A.iii^-B'. -+-B> ~~ A>-+-B, -t- B'./w "^ A* -i-B.J8 -4- B'^ ~" *'
alors ces deux plans coïncident.
Appelons z la valeur commune de ces rapports : si je démontre qu'il y a des valeurs réelles pour Zy il'y en aura pour m et n.
On aura donc
(,) (A — Atz)m -h (B'' — B^ z)7i -t- (B' — B', z) = o, d'où
(2) (B"— tf;z)^-+-(A' — A.»)/f-+-{B— B.») = o, <3) (B'— B.»)jw +(B — B,z)n -h (A"— A', z) = o.
Eliminant m et n, on trouve (déterminant)
o = 2(B-.B,z)(B'— B»(B'' — B'z) -h(A-A,2)(A'-«A»(A''-A'z) — (B-B,«)>(A-A,«) -.(B-B;z)UA'-A»-.(B"-B:.)«(A"-A:),
( 35i ) équation du troisième degré qui, ayant pour coefficient de^
et pour terme tout connu
-h aBB'B'' H- A A'A;' — AB» - A'B'* - A"B"%
a toujours une racine réelle finie et différente de séro, car les deux expressions précédentes représentant les dénominateurs des coordonnées du centre des deux surfaces ne sont pas nulles, puisqu'il s'agit de deux surfaces à centre.
Soit OZ la droite qui a pour équation x=mz,y=:/i2, m et n ayant les* valeurs que donnent deux quelconques des équations (3), (2), (i), jointe à la valeur réelle que nous venons de déterminer pour z.
Considérons le plan diamétral qui correspond à cette droite, il est le même pour les deux surfaces.
Soient Ca elQ"b les ellipses suivant lesquelles il coupe les surfaces A et B. On sait qu'étant données deux ellipses concentriques, on peut toujours trouver un système de diamètres conjugués commun aux deux ellipses. Appelons OX et OY ces deux diamètres conjugués pour les ellipses G a et Gb. Gela posé, il est évident que les trois droites OZ, OY, OX, forment un système de diamètres conjugués communs aux deux ellipsoïdes. Donc en prenant ces droites pour axes coordonnés^ on peut donner aux équations des deux ellipsoïdes les formes suivantes :
Solution fie la question.
Posons X = a'xi, y = Vy^^ z = d Zi^ et substituons. Les deux équations deviendront
(^) { a'^jr^ b'^Y* c'»«»
Et résolvons la question pour ce système d'équations, il est évident que si nous trouvons pour équation du lieu /(Xi^iZi) = o, le lieu pour le premier système sera
Cela posé, considérons le système suivant en supposant les axes rectangulaires
La première équation B'' représente une sphère, et par suite tous ses plans diamétraux conjugués sont rectangulaires; donc pour ce système la question revient à ce théorème de M onge : Le lieu des sommets des trièdres trirectangles circonscrit à une ellipsoïde est une sphère, sphère qui, dans notre question, a pour équation
Mais les relations algébriques que donnent le système de Téquation (a) et le système de l'équation (3) sont identiquement les mêmes*, donc le résultat du calcul algébrique sera pour le système de l'équation (2) comme pour
( 353 ) 1 équation (3)
et en remplaçant x, ,/,, z^ par leur valeur en x, /, Zy ou aura pour réquatiou dans le système (i)
X» y* il "' ^' ^' ^/a ■+■ Jt; ■+- 7", - ^ + ^ -K ;;;•
Ce qui est un ellipsoïde semblable à B, concentrique et semblablement dispose.
Noie du Rédacteur. Le théorème subsiste pour deux surfaces du second degré quelconques. On le démontre par des transformations linéaires qui maintiennent le parallélisme des plans et des droites.
