THÉORIE GÉNÉRALE DES SYSTÈMES DE RAYONS REGTIUGNES

Par m. E.-E. KUMMER.

CttELLEjt. LVH.

Traduit par M. E. DEWULF,

Capitaine du Génie.

.On a peu étudié jusqu'ici dans toute leur généralité les systèmes de rayons rectilignes qui remplissent tout Tespace ou une partie de Tespace de telle manière que, par chaque point donné, il passe un rayon ou un nombre déterminé de rayons. Dans les recherclies géométriques, on s'est occupé surtout d'un système déterminé de rayons, savoir : celui où tous les rayons peuvent être considérés comme normaux à une même surface. La théorie de ce système a la connexion la plus intime avec celle de la courbure des surfaces. Les propriétés les plus remarquables de ce système ont été trouvées par Monge et exposées f SirluidansV application de T analyse à la géométrie {^^, Comme les systèmes de rayons rectilignes dans Tespace ont une grande importance dans Foptique, leur théorie a souvent été étudiée comme question de physique^ mais,

C*) Ce Mémoire est un modèle de géométrie analytique d'une grande fécondité théorique et physique et il est élémentaire. Je donne ce nom à tout ce qui est bien étage , bien éclairé, à ce qui n'exige point des pas trop élevés. Les ouvrages d'Euler, de Lagrange sont plus élémentaires que certaines arithmétiques. ( Note du Rédacteur } .

{**) 5« édition, par M. Liouville; î85o.

( 363 ) à ce point de vue, on n'a guère étudié non plus que les systèmes de rayons normaux à une même surface. I.a théorie générale de ces rayons a conduit d'une manière remarquable à uu des plus beaux théorèmes de l'optique, au théorème de Malus généralisé par Dupin. Voici FénoDcé de ce théorème : Tous les systèmes lumineux ùsus d'un point sont normaux à une même surface après avoir subi un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces quelconques données et un nombre quelconque de réfractions par le passage au travers de milieux limités jouissant de poui^oirs réfringents différents. Cette propriété n'appartient pas aux systèmes irréguliers de rayons que Ton obtient après le passage de la lumière à travers les cristaux. Ces rayons forment des systèmes qui ne sont plus normaux à une même surface et que, pour celte raison, on a nommés systèmes irréguliers. Quoique les cristaux ne donnent naissance qu^à certains systèmes particuliers, ils ont cependant amené Tétude des systèmes les plus généraux de rayons rectilignes.

A ma connaissance, ces systèmes ont été étudiés pour la première fois par Hamilton^ dans les Transactions ofihe royal Irish Academy^ t. X\I, dans un supplément à son grand traité : Theory of Systems of rajs, où il ne les avait pas encore considérés. Ce traité, rédige en vue de l'optique, ne renferme que les systèmes réguliers et leurs modifications par réflexions et réfractions, et lesw systèmes irréguliers donnés par le passage de la lumière à travers les cristaux. Dans ce premier supplément, Haniilton part de principes physiques et notamment de celui du moindre travail, et il cherche a déduire les propriétés géométriques du système général de rayons reclilignes, de la formule que donne ce principe. Il a découvert, par celte voie, une suite de propriétés remarquables du système le plus général de rayons. II semble que ces

( 364 ) propriétés soient peu connues, car il n'en est pas faii mention dans les Mémoires qui ont paru depuis sur le même sujet. Approfondir de nouveau cette théorie traitée pour la première fois par Hamilton en employant la géométrie analytique à trois dimensions, la compléter en quelques points importants, tel est ie but de ce Mémoire.

§ I. — Formules et notations.

Un rayon rectiligne du système sera déterminé si Ton donne un point x^y^ z (coordonnées rectangulaires) de ce rayon et les angles que ce rayon forme avec les trois axes des coordonnées. Soient Ç, >?, Ç les cosinus de ces angles. La relation qui lie entre eux différents rayons et qui en forme un système pourra être donnée de la manière suivante : les six quantités x, y, z, Ç, y?, Ç sont des fonctions continues de deux variables indépendantes u et v. D'après cela, les points {x^j^z) se trouvant sur une certaine surface, les rayons du système peuvent être considérés comme issus des divers points de cette surface. Un point d'un rayon sera déterminé par sa distance à Torigine du rayon. Cette distance est comptée sur le rayon, nous la désignerons par r et nous la nommerons abscisse.

G)nsidérons deux rayons du système. L'origine du premier rayon et sa direction sont déterminées par x^y^ «, ^, î3, Ç. Pour le second, ces mêmes quantités deviennent ar + Aj:, y-j- Ay, z + ù^z^ | + A$, >î + Ad, Ç i- A^î Ao:, Aj, etc., ont des valeurs finies. La relation qui existe entre ces deux rayons sera connue, si l'on détermine: l'angle e qu'ils forment entre eux, la longueur p de leur plus courte distance et la direction de cette plus courte distance, ou le cosinus x, X, /x des angles qu elle forme avec les trois axes, et enfin Tabscisse r du pied de cotte plus courte (lislance sur Ir premier rayon. La géométrie

( 365 ) analylîque donne ces quatre quantités en fonction tles coordonnées des origines des deux rayons et de leurs directions, comme il suit :

(i) cosi=:Ç(Ç-!-4)-4-»i(« + Ao)-t-Ç(; + AÇ),

(2) Sin'f = (lïAÇ — ÇA>î)'+ (ÇAÇ — ÇA^ )' + (ÇA„ — «A^)%

(3) psïn • ='*(„AJ; — ^Au) Ax-H (ÇAÇ~ÇAÇ)A;^ + (ÇAw- «A5)Az,

,. «ïAÇ-U^ . ^Ag-^gAg gA),-»Ag

(4) x = : 1 A= : 9 pi = : »

^^' sin£ sin£ ^ sme

(5) Î/J = xA X -+- >A j 4- fAA 2,

rsine =[pi(,î-^ Ar:) — >;Ç-h A2;)]A-c

^^M+[x(Ç-hAÇ)-fz(Ç-hA?)]Aj-f.[A(Ç-^AÇ)-x(,2-i.An)]A3. Au moyen des relations

(Ç + AÇ)«-h („ -+- A«)»-4- (Ç -h AÇ)^=: I,

d'où Ton déduit

(7) ÇAÇ +. »îA>j 4- ÇAÇ == — ^ ( Ag^ 4- A,i' -h AÇ'),

on peut mettre les expressions de cos e, sin e, /' sous la forme suivante :

(8) cos • = I — i (Ag' 4- A»' 4- AÇ'),

(9) sin^E = Ag' 4- A>î»4- AÇ» — i (Ag' 4- ^n■ 4- AÇ')S

rsin'g = — ( AxAg 4- A/Au 4- A3AÇ)4- - (Ag' 4- Au^ 4- AÇ') X [A;c(g 4- Ag) 4- Ajr(r, -f. A»i) 4- A3(Ç4-AÇ)].

Considérons les distances des deux rayons en chacun de leurs points, ces dislances étant mesurées par les perpendiculaires abaissées des diiïérents points du second sur le premier, nommons rj les longueurs de ces perpendicu-

( 366 ) laires, R les aliscisses de leurs pieds sur le premier rayon, x', X\ fi' les cosinus des angles qu^ellcs forment avec les trois axes \ nous avons

cose

(il) ; ^y = A^ — R„-h ^ '-^ -%