COSE

Nous avons posé, pour abréger,

Supposons que le second rayon se rapproche infiniment près du premier, de manière que les différences Ax, Ay^ etc., deviennent les différentielles ^x, dfy etc. Les quantités /7,^, e deviennent infinimentpctiles, désignonsles par dp y dq^ de. Les infiniment petits d'ordre supérieur disparaissant, il vient

(i2)rft>=rfp-h^V-+-rf^S

dxcll H- 4r'/iî -+- (Izd^

XV7 = r?/ -f- Rr/iï — 13 (Ç^/x -h „dr/ -♦- Ç^z), ^'dqz=idz -h R^Ç — Ç(Ç^x -+->îr/j 4- Ç^/2),

•^9 /î *» Çî ^9 C étani des ibtictîoiis des deux variables indépendantes u et \^^ leurs différentielles peuvent s'exprimer par les quotients différentiels partiels pris par rapport à uet à i^, et par les différentielles du et rfj^.

( 367 ) Nous emploieroQs les mêmes nolations que Gauss dans ses Disqm'siliones gen orales circà superficies curvas pour les premiers quotients aifTérentiels partiels et pour les expressions qui résultent de leurs combinaisons *, ainsi nous posons

(17) djc=z ada H- a'd{f\ dy = bda -f-, h* dv \ dz = cdu •+- c'dt» j

(18) bc' — b'c = A, ca' — ae' = B, ab' — ba! =z C,

(19) û>-t-ô^4-c'=E, aa'-hbb'-^cc'^V, <î'»-h^"-f-c'»=G(*).

Nous emploierons des notations analogues pour les quotients différentiels partiels des quantités |, rj, Ç et pour les expressions qui résultent de leurs combinaisons :

(20) di=zSLdu-^a'dt>'f d7i=hdu-^Wdp; d^=^cdu'-hc*dv,

(21) bc' — cb' = Jioj ca' — ac' = ift,, ab' — ba' = G,

(22) a»+b*+c'=<j:, aa'+bb'-f-cc'=#, a'»H-b'^H-c"=g.

Par suite, nous avons

( 23 ) • <vi,^ -h ifi» -h G* = cg - ^» = A» .

Plus loin, nous emploierons aussi les abréviations suivantes :

/ fla -f- ôb-f-cc = e, ) a'a-|-é»'b-*-c'c=:f.

Le quotient des différentielles des deux variables indépendantes du et d\^ sera représenté par /, ainsi

De Téquation

(*) Voir Noupelhi Antiëhs, t. Xi, p. igS; iSS?.

( 368 ) qui, dîlTérentiée surcessivemcnt par rajipoK û u ei a r, donne

j Ça-f-flb-|-Çc = o, ^""^^ i Ça'+„b'-hÇc'=ro,

on lire

noas emploierons ces expressions avec avantage.

Les valeurs de Ç, rj, ^ sont indéterminées dans le cas où A=:o, car Téquation A = o entraîne les équations X = o, 'U5>= o, G = o. Ce cas ne se présente que pour un système particulier de rayons, et dans son étude il exige une légère modification dans les méthodes générales. Nous ne le considéreix)ns pas spécialement, le système de rayons correspondant peut ôtre considéré comme une limite du système général.

§ n. — Points limites des plus comptes dis tances ^iT un rayon à un rayon infiniment voisin.

En remplaçant dx^ djj dzy rf|, dv^ d^ par les quotients dlfTérentiels et les dilTérentielles des variables indépendantes, Texpi'ession (i5) de Tabscisse du point du premier rayon le plus rapproché d'un rayon infiniment voisin sera

Pour une certaine valeur de t = —y cette expression

donne la plus courte distance du premier rayon à un rayon infiniment voisin déterminé. On obtient toutes les valeurs de r, c'est-à-dire les valeurs de r qui correspon dent à tous les rayons infiniment voisins, en faisant varier

(369) < de — âo à -<)- 00 . La valeur de r ne peut être nulle pour aucune des valeurs de t^ puisque CÇ — â?'= ju*-|- ift)*4- G* n'est jamais négatif^ nous écartons le cas où ^ — d^*=o. Donc, les valeurs de r ne peuvent jamais être infinies et doivent rester comprises entre certaines limites données par le maximum et le minimum de r. On a donc le théorème suivant :

Les pieds des plus courtes distances JCun rayon h tous les rayons infiniment voisins qui tentourenty se troui^ent tous sur un segment déterminé de ce rayon.

Egalons à zéro le quotient différentiel de rpar rapport k t. Cette équation nous donnera les valeurs de t qui déterminent les points-limites (extrémités du segment)

(a) (C+^t-^qt^) (f+f'-h agO-[e-hf+F>-hg/'i(2^+îgO=o, ou en simplifiant •

(3) [g^- ^ (»+ f )§] ^-(eff-gC)/-h [i (f.*.r) C~c/| = o.

Soient ti et tf les racines toujours réelles de cette équation quadratique, on a

De là, on tire ces deux équations remarquables : ' (5) C H- .f (/, 4- /,) 4- g^, r, = o ,

(6). e^i(f+/,)(^-l-M-Hg^^ = o,

auxquelles on peut ajouter celles-ci qui se déduisent

Ann. de Matkémat., t. XIX (Octobre i86o.) ^4

(370) facilement des précédentes

(7) C+:ih,-t-Qt] = (t,-t,)(S + Çt,),

Si l'on désigne par r, et r, les valeurs extrêmes de r qui correspondent à t = f i et t = <t , on a

('=*) ^— — £.+.#,,+ ç,vî :

Au moyen de l'équation (a) on peut donner à ci "expressioi^^ les formes plus simples :

■ e + i(f+r)*. i(fH-f') + t,'/.

Si Ton élimine fi et f^ entre ces équation», on obtient Féquation quadratique suivante dont les racines toujours réelles Ti et r% sont les abscisses des points-limites des plus ' courtes distances d'un rayon à tous les rayons infiniment voisins :

( (^-^')'-'-[g^-(^4-r)cf-heg]i-i.eg

( 37' ) On lire de celte équation

~[gd:-(f+f')#-t-e(n r,4-r.= — ,

^'^^ l '/f^f/te

eg — -(f-Hf)'

Le segment sur lequel se trouvent les pieds de toutm les plus courtes distances d'un rayon à tous les rayons infiniment voisins estëgal à la dijfCérènce des abscisses des points-limites. Désignons par 2</ la longueur de ce s^-* ment, par m Tabsoîsse du point milieu des deux pointslimites, on aura

' (La suite prochainementM)

SOLUTION MS «OESTIONS DB L'ALGiBBB UBTRAND

(▼Olrt.XVII,p. 11);

Par m. E. MATHIEU,

Professeur.

X. Trouver la somme des carrés des coefficients du binôme. Cette somme peut être représentée par les deux formules

prouver que ces deux formules sont équivalentes. Remarquons d'abord qiie Texpression

f Î70 ftfrùeoMe le nombre de coodrinaisoBS de 21» Icurcs a à n* Or, poor fermer cci eombinabons, sopposons f|B*oii afbée de b maniire MiiTante :

On partage ces an lettres en deox groupes, cbacan de n leUret.

Puis, ne prenant d^abofd dans le premier groope aucune lettre, on prcmd toutes celles du second groupe; œ qui fermera une des combinaisons cliercbées.

En second lien, on prend nne lettre dans le premier groupe, ce ijui peut se faire de n manières, et on la combine avec /i ^- 1 lettres dn deoxième groupe, ce cjni peut encore se faire de n manières. On aura ainsi n* combinaisons.

En troisième lieu, on prend deux lettres dans le premier groupe, ce qui peut se faire de -^ manières,

et Ton combine chacun de ces produits avec n — a lettres du deuxième, ce qui donne pour chacun des produits

do deux lettres du premier groupe -^ produits. On

aura donc en tout l -^ — "^^ \ combinaisons-.

En imaginant que Ton continue ainsi, il devient évident que l'on a

Remar<|uons maintenant que Ton a

(a) aii(a/i — 1). . .(a-|-i) = a.6.io.i4. . .(4«— 2).

En ttfTet, Tégalité est vériâée quand on fait n = i , il sufBt dont de prouver que si cette égalité a lieu lorsqu'on j change n en n — 1, Tégalité (a) elle-même aura lieu.

Supposons donc que l'on ait

(a/i — a)(2/i — $)• . .(/i + i)/i = at6.io. ...(4« — 6);

en multipliant les deux membres par 4^^ — ^y ^^ tombe sur réalité (a); donc cette ëgâlité est démontrée.

La somme des carrés des coefficients du binème peut donc encore être représentée par la formule

a.6>io. ..(4»y — >) 1 .2.3. . ,n

XL Prouver que si dans la somme

I — jc (% — x)(a — jf)

(t-A')(g — X)...(fl*~^— Jt)

on fait X = a", celte somme devient égale à /i.

Si dans lexpression de S on fait xsa", tous les termes après le dernier écrit dans cette expression s'annulent, et en désignant par S« le résultat de la substitu* tion, on a

^"--nr-^ — nr? — ^-••

(l — 0")(l — fl''~»)...(l — fl)

Or on a

( 374 ) donc on aura

I — a 1 — fl*

(1 — fl*-')..:(i — fl»)(i— ^g)

Posons

et. nous aurons

Si, == S„^» -h Aji et

X[û— 'H- «•-»(i—fl»-») -h... +«.(! — «—•)... (l — a»)(r—fl), ou

Or on a Ao = 1 -, donc, diaprés celte dernière formule, on aura Ai = i , A| =? i , . . . , A„ = i .

D'autre part on a Si = i ; donc on aura Ss == i^,

Oj s^ «j 9 • • • ) d;i :^ /î.

Xin. On donne réquation

ax* H- ^f* -4- c»' -h a c/x'^* -h ar«'z* -f- a^'z* -H mx'-h »/' -f- >c>»'-H 7 = o.

Trouver entre quelles limites peut varier a:* -f- y* 4- z*.

Commençons par tirer z* de Tëquation donnée pour le porter dans Tëquation

et nous chercherons ensuite entre quelles limites peu%

% ^.« u. En tirant z* de Féquation donnée, un <%

z ss *

• ± VA/^ -h Bx»r*M- Cx^ 4- D^»-h Ex>4- F, en posant

11= î t = ; , JP = 7—; •

Portant js* dans l'expression de i/, on a

c c* IC

•± V^Aj^HKB^'r» 4^C^ 4- Dr' -h Ea:» -h F.

Résolvons cette équation par rapport â /*, et pour cela chassons d^abord le radical, ce qui nous donne

f = A^* -4- B4?'7» 4- C:c* -4- D^ ' 4- Ejc' 4- F.

En résolvant cette équation par rapport ky^^on trouvera une expression de U forme suivante

jr»=«x»4-P±VNx*4-Px'4-Q,

j3, P et Q étant des quantités qui contiennent u, et a et N étant des quantités qui ne le contiennent pas.

/' doit d'abord être réel, il faut donc que Ton ait

(fï) Nx^-f.Px'4- Q>o.

N peut être positif ou négatif. SHI est négatif, il faudra

(376) que X* soit compris entre les deux racines de l'équation

ce qui exigera que Ton ait

P cl Q étant fonctions de Uy ces deux inégalités nous indiqueront des limites de u. Si N est positif, l'inégalité [n) pourra toujours avoir lieu, quelle que soit u, et la réalité de 7' ne donne plus de conditions. Enfin il faudra que y soit réel, ou que y* soit positif, et pour cela il suffira que la plus petite valeur de j** soit positive. Or, en résolvant l'équation (Ç) par rapport à a;*, on aura

x»= a,r» -h p, ±: V^N.j^^-P.r'-hQ,.

Soient j^* tty\ les racines de Téquation

N,«v»-4-P,«^-hQ = o-, on aura

y\ =zVu} H-ft'a-hv'.

Supposons Ni<^o, nous chercherons entre quelles limites doit varier u, pour que la quantité

(X — V)a' + (ft — p')in-v — v'

soit plus grande ou plus petite que zéro. On trouvera ainsi que /s est minimum quand u varie entre u, et i/^, et Ton posera

On trouvera aussi que^i est minimum quand u varie depuis — 00 jusqu'à i/|, et depuis u^ jusqu'à -f- 00 , et Ton aura

u<^u^ ou tt]>«j avec >f*^-4-|uitt -4- v>o.

(37V) Si Ni ëtail }>o, on exprimerait encore que le minimum dej^est ]>o.

XJV. Entre quelles limites peut varier l'expression

(«-+■ r)' -*- (r H- »)*-+-(» — 3xy H-. aa: — 7 -f- * -h lo,

lorsque Xj /, z prennent toutes les valeurs possibles ?

Ordonnons cette expression par rapport à x, et, diaprés la règle générale, égalons-la à une quantité indéterminée m. Ainsi nous posons

iox*-4- 2(j^ — 3sH- i)x+ «jr»-4- aji -I- a«* — 7 -f- « -f-io = m,

et nous allons chercher entre quelles limites peut varier m pour que x^y, z restent réels. Résolvons cette équation par rapport à x^ nous trouverons

— /-h3s — 1±^— -19/'— a(i38— 6)r — ng' — i6z — 99-*- 'o^

Pour que x soit réel, il faut que la quantité qui se trouve sous le radical soit positive, ce qui donne

(0 '9J*-H 2(i3« — G)/-*- ii*M- i6« -4-99 — iom<^o.

Or, pour que cette inégalité soit satisfaite, il faut et il suffit que j" soit compris entre les racines j^' et j^'' de l'équation

197'-+- 2(i3« — 6)j-t- ii»' + i6x -♦- 99— lOOT = 0; ainsi les valeurs de y' et y sont les suivantes

— 1 3s >4- 6 ± \/— 4og' — 460S — 1845 + 190//! ^^ '9

Les valeurs àe y' et de y" devant être réelles, on a

(2) 4o^'H' 4^^"^ '^45 — 190/W <ro.

(378) Pour que cette inégalité puisse avoir lieu, on yoit encore qu'il faut et il suffit que z soit compris entre les quantités s! et z"^, dont les valeurs seront données par l'expression

— 23o i v^23o* — 4q X 1845 -h 4o X igow ^ ^5

s! ec z" devant être réels, nous aurons

25o»--4oX 1845 -+- 40 X 190m >o, et en effectuant les calculs,

telle est la condition nécessaire et suffisante. Ainsi le

polynôme proposé peut varier depuis -7- jusqu'à oo quand

jr,y, z prennent toutes les valeurs possibles. D faut bien remarquer que les inégalités (i) et (a) ne donnent que des conditions auxquelles doit être assujettie m, puisque X, y^ z peuvent être quelconques.