Mêmes équations

• a=:28o**i6', iw = — 0,62342; p = 20o**io', /î= -h 0,69725; z = 2070 5' 34", 4, k = 1 ,0273643.

Noas avons e:8:trait ces exercices de Toavrage suivant : A Treatise of plane and spherical Trigonometiyy by William Chauvenet , professeur de mathématiques à TÉ*cole de Navigation des Etats-Unis. Philadelphie, i854 ; in-8® de 256 pages; S* édition, la 1" est de i85o. •Trigonométrie complète; on y trouve les équations aux différences et aux d^&'érentielles relatives aux triangles , sans lesquelles aucune opération trigonométrique n'est susceptible d'approximation. Il est singulier de rencontrer, chez nos auteurs élémentaires , des méthodes et des exemples à foison concernant les erreurs en arithmétique, et de ne rien dire sur les erreurs trigonométriques , qu'il est si important de connaître. Quelle influence les erreurs dès mesures ont-elles sur les résultats des calculs? U faut savoir répondre à cette question , si Ton tient à se rendre compte de ce qu*on fait. On a

a» = i* -f- c' — atc cos A ;

si l'on a mesuré b el ck quelques centimètres près, Â à quelques secondes près, à combien près obtient-on la valeur de a? Les problèmes fondamentaux des deux trigonométries devraient être accompagnés de ce renseignement indispensable.

Le chapitre lY (page 214) de cet ouvrage, donne les solutions des triangles sphériques lorsque les côtés et les angles dépassent 180 degrés, triangles qu'on rencontre souvent en astronomie; par exemple, les ascensions droites se comptent de o à 36o degrés. Gauss, dans sa Theoria motus y fait voir qu il est commode de résoudre ce genre

de triâDgles directement , sans rççQurir À d^ triangles auxiliaires. On peut y appliquer les mêmes formules que pour les triangles ordinaires. Soit

cos (air — a) == Çps^« j

supp.039ps que daqs le Utiaogle recUligne ABC on désigne piar A'i B 5 C les angles eî^lérieurs. an — A, aw — -B, 2T\ — C; réquatîoQ fondamentale de la trigonométrie r«ctiligne est

a = ^. COÂ Ç -fr c G4^'S B ,

et Ton a aussi

a =z b ces C H- c ces B' ;

de même, dans l^ trigonométrie sphérique, tçutes les autres équations sont des déductions de cette équfitfon fondamentale.

Quant aux applications à la géométrie pratique et aux diverses que&lions d'astronomie et de navigation , la trigonométrie la plus complète est celle que M. Pienger i^ publiée à Situtligart en i855, que nous ferons connaître à nos lecteurs , et à laquelle nous enlprunteronâ beaucoup d'exercices numériques.

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQIiE.

roi^i|VJ(.«s DE A. BRETSCBNEIDER.

Crklle, t. XIV, p. 1^5; ]833.

Dans un triangle sphérique, posons

A = 4 A', az=^a', A'+ B'-h C = P i B = 4Ç', ô = 4^\ a'-^b'-hc' =/>; C = 4C, r=:4c';

( a3) on a •

$in (P ^ 4^)siD (P-- 2 A'-lr 45**) coftaa' = sin/? sin (/> — aa) sin 2 A' ;

cos (P — 45«») co$(P — 2 A' -H 45**) cos 2 rt' = cos/? cas (1» ■— a fl) sin 2 A' ;

sin (P — 45*») cos (P — 2 A'-h 45**) cos 2 a' = sin (/i — 2 fl) sin (/? — ac) cos 2A' ;

cos (P — 45*) sin(P — aA'-l-45**)cos?.a' = cos(/? — 2a]cos(/> — 2(?)cos2A';

sin (P — 2B'-h 45») sin (P — 2C'-*- 4^") sin 2/1' =• sin ^ si» [p — 2a') sin 2 A' ^

cos { P — aB'-h45°) cos ( P — 2 C -♦- 45?) sin :». «' = cosp cos {/? — aa') sin a A' ;

$iu(P — aA'-+- 45") <;Qa(P— aC'-h 45") sin 2^1' = sin {p — ih') cos{p — 2c')cos2A';

cos ( P — 2B'-H 45") sin ( P -— 2 C -f 45") sin 2«' = cos (/? — a ^' ) sin (/? — 2 c') cos a A'.

Par voie de multipHcation , on obtient de iiouvalles (•rmules*

SUR QUBIiQOIS QVBSTIOfllS »'AL6ÊBRS;

Par m. Michakl ROBERTS.

Étant donnée l'équation

dont les racines sonl (.ri , Xj , . . . , .r„) ^ soient Sq , Si , 5, . les sommes des puissances zéro , première, deuxième, . de ces racines.

Calculons les valeurs de la fonclion lymétriquc 2 (Xi — •a^t)'^) ou bien 'de rinvarianl quadratique

( 2! ) ^® ^® forme (*)

(*,,*,,!,,.. ,*a,)(Jr,J)»^

pourp = i,^ = a,^=3,ft = 4- Nous trouvons

•^'2=;,>(/t-i){fc'-ûir),

' Lx(flir-4*rf-H3c^) J

^X (fl^*-+-^6'-h c^— ^bcd^ ace) à" 2.3.4'5

(*) Voirt XVIII, p. 3o4.

«•(^— ac)*— !'«*('» — ^) ('» — 7 )'''

X ( ^'— ac)' (ae — 4 W-|- 3c')

X (**— ac) (arf»-h ff6»-h c*— 2 ^c*/ — ace)

^.±«ï(„2)(« — 3)(/I*4-8#l — 2l)ll* 72 ^ /v /x

X(«^ — 4W+3c^)' «•y =ii»(i,.>i)( ;i'(;i-2)(/»>-3)(n-4)(/i~2i)^,

X(*'— fl<?)(^g — tî^/"-!- i5^tf— 10 rf»)

(A'y — 2 cd* + bde — 3 éç^ — "cgX -h3ad/—tiae*+Zc*e) j

, (n-a)(/.-3)(i.-4)(n-5)(/i-6)(/.-7)^^. 2.3.4-5.6.7 l X (flX — 8*A -f.28r^-56€y-f- 35/»)

On trouve aussi pour Tin variant cubique (Is) de la forme

l'expression suivante

[«( ^»— ûc) (fl <?— 4 ^rf-h 3c») H --3(/î — 2)a j.

Posons « = 3 , e = o , 1 on retombe sur le discriminant de la fonction cubique homogène à deux variables (^). Pour n = 4 ) nous avons

(*) Résultat connu.

( «6.) Or, eu nous reporiant à Féqualiou au carré des diilërence& des racines d^une équaticMH bîquaKlralique que j'ai dëjà donnée (*) , nous lirons l'équation suivante

s^ Si ^

eu sorte que la relation entre les racines d'une équation du quaU'ièmfî d^^^gré exprimée par l'équation

entraîne Tune ou l'autre des conditions

ac — ^bd -^^c^ =: Oj

So Si Si Si s, Js Jj J3 .Ç4

THÂORÈMS M! 6B0HÉTR» SEfllNINTAlRE ,

DVbjès 0. HERMES.

Crbile, t. LIV, p. aoSj 1869.

1 . Soient ABCD un létraèdro coupé par un plan transversal T, et

^ droite d*intersertiaii de ABC et T,

Y « ABDetT,

p .. ACD et T,

a » BCD et T,

D' pôle de S relatif A ABC,