A' » BCD
C) Voir l. VVI, p. 3fiS.
( 27 ) ks quatre droites A A', BB', CC\ DD'scroupeiii au même point P; ce point est le pôle du plan I rt^latî\ement au tétraèdre ABÇD,
It -f- mu -f- /'«' -H p*^ = s , équation du plan T ; It = mu •=: nv= ptv , équation du point P.
Lorsque le plan T est à Tinfini, le pôle est au centre de gravité du tétraèdre (pour le triangle, voir Bultetin, t. V , p. 67).
%. Soient v#e séri^ de triaitgleâ ayant, ^i^ sommtH çom-' mun , et dont les bases sont sur une seule et même droi^^ \ les pôles d'une transversale coupant ces triangles relativement à chaque A sont sur une même droite.
3. Soit un tétraèdre AR€D coupé par un cinquième plan T; on a un jtentaèrlre (fûnlflach) : ce cinquième plan T coupe BCD suivant la droite a; nommons le plan qi|î passç par A et la droilea un plan filauiétraï ^ ce plan diaipçtral coupe les faces ABC, ABU, ACD suivant trois droites passant par A et la face BCD suivant la droite ol : on a ainsi trois triaugl^s ayant le sommet commun cç et leurs bases sur 1^ même droite of. \ nommons ces triangles trian^/rs diamétraux ,
Thèorènte, Si l'on coupe un peulaèdnre par un plan P, ce plan coupe un plan diamétral suivant une droite ; si Ton prend les pôles de cette droite relativement aux trois triangles diamétraux, ils sont sur une même droite; on obtient ainsi quatre droites , fournies par les quatre som» mets ADGD, cl ces quatre droites appartiennent au même hypcrboloïde.
1. Théorcmc. Si, dans nn bexacdic, les trois droites H'inlerscclion des couples Av. plans opposés sont dans un
( a8) même plan, les trois diagonales de Iliexaèdi'e se coupeni suivant un même point.
5. Si sur quatre droites d'un byperboloïde à une nappe on prend respectivement sur chacun deux points, soient a, a, &, P, c, y, J, d, les quatre faces homonymes des deux tétraèdres abcd^ a^yâ se coupent suivant quatre droites éléments d'un hyperboloïde à une nappe. (Cayley.)
Si les quatre faces homonymes de deux tétraèdres abcd^ a^yà se coupent suivant quatre droites situées sur un même hyperboloïde à une nappe, les droites qui joignent les sommets homonymes sont aussi sur un tel hyperboloïde.
COURBE LOGOGYGLIQCE (BOOTH).
Trouver Tenveloppe d'un cercle dont le centre est sur une parabole donnée et qui a pour rayon la distance du eentrc au foyer de la parabole; nommons cette enveloppe F courbe logocy clique.
I**. Démontrer qu'en prenant le foyer pour pôle et pour axe celui de la parabole , la courbe réciproque de cette enveloppe coïncide avec cette enveloppe ; propriété analogue à celle du cercle.
Q^. La directrice dé la parabole est une asymptote de Tcnveloppe.
3°. Soient V le point d'intersection de deux tangentes à l'enveloppe menée par deux points réciproques R et R|, et par conséquent tous deux sur l'enveloppe; T le milieu de RR| : la droite VT est perpendiculaire sur RR, , et touche la parabole en un point Q.
4^. O étant le sommet de la parabole', Targle ROR| est droit.
5**. QR, QR| sont normales à Tenveloppe^ VR, VR, sont égales et également inclinées sur la corde RRj , comme dans le cercle.
6**. Le lieu du point V est une cissoîde ayant le sommet de la parabole pour point de rebrou ssement, et la directrice de la parabole pour asymptote.
7®. La somme des distances des points R et R, à l'axe est égale à la distance du point Q à Taxe.
8^. Soient C et C les points d^ intersection des tangentes VR, VRi avec une perpendiculaire au rayon vecteur FRRi menée par F; la somme FC-f-FC, est constante, et \C = VC|.
9°. Le lieu des points C et Ci est une cardioïde.
lo®. Mêmes notations
c'est ce qui a fait donner à cette enveloppe le nom de logocyclique, parce qu'elle a des propriétés analogues au cercle et aux logarithmes (Quarterly Journal y t. III, p. 38; i858) ; la logocyclique est carrable.
SnR «m QUESTION de GfeOMÉTRIE DESCRIPTIVE;
' Pae M. GROS,
Professeur de mathématiques.
Dans les cours de géométrie descriptive, on démontre oroinairement que si les axes de deux surfaces de révolution du second degré sont dans un même plan , la projection sur ce plan de la. courbe d'interjection de ces deux surfaces est un arc de courbe du second degré.
On peut, en outre, à la simple inspection des don-
(3a) D'où l'on conclut que , si Tune des surfaces seulement est un ellipsoïde aplati, la projection est un arc d*ellipse; si Tune des surfaces est une sphère, la projection est un arc de parabole. Dans toifs les autres cas , la projection est un arc d'hyperbole.
THÉORÈME SIR LE BINOME DE NEWTON POUR L'EIPOSANT ENTIER ET POSITIF (*)-,
Par m. GARCET,
Capitaine du génie.
Si Ton décompose la série des coefficients du bin6me de Newton en trois parties , en prenant les termes de trois en trois, deux de ces sommes sont égales et la troisième surpasse les deux autres ou en est surpassée d'une unité.
Ainsi appelons 5i , 5, , 5, ces trois sommes
= IH := m
.JW-r-
ég>A\
'unité près
en
somn
on a
tre ces trois
aes.
A (iémontrer
Comme on sait ensuite que
on peut spécifier quelles sont les sommes égales suivant
la nature de l'exposant m, ainsi qu'il suit: Si
on a respectivement
* 1 — «a — ^3 "T" * — " SE ' * 2*— I
THfiORiHU SUR LES COURBES PLANES C*); Par m. STREBOR.
Étant donnée une courbe plane , construisons la courbe semblable en doublant les rayons vecteurs tirés d'un point
(*) A démon Irer.
Ann. de Uaihém., t. XIX. (Janvier i86o.)
(34) iixe, et supposons qu'on ait trouvé l'équation de la courbe parallèle à cette dernière, qui s'obtient en prenant sur ses normales une longueur constante {k). Si l'on substitue dans cette équation \/a:' -+- j* au lieu de Ar, on •tombera sur l'équation de la courbe, enveloppe des per^ pendiculaires qu'on mène aux extrémités des rayons vecteurs- de la courbe donnée.
Puisque la courbe parallèle est tout à fait indépendante de la position de Torigine fixe, il est évident que si Ton en a Téquation j on aura aussi Téquation de ladite enveloppe, quelle que soit la position de Forigine.
Nota. Très-facile à vérifier pour la lîgnc droite et pour le cercle.
