XV. On donne trois équations à deux inconnues

a'x -h l'y = et.

Il existe un nombre infini de facteurs X, X', X''', tels, quen multipliant la première équation par X, la seconde par X', la troisième par X'', et en ajouunt les résultats, on obtient une équation de la forme

xz=:\d^Vtr^Yér.

Trouver les facteurs X, X', X^' qui, remplissant cette con-

( 379 ) dition, rendent la somme X'-hV*-f*-V'* la plus petite possible.

Les quantités 2, X', V sont reliées entre elles par les équations

Ajoutons -y Téquation

V étant une indéterminée, et résolvons ces trois équations; posons

R = a'b'd' ^adfb"^ dà' b" — ba' d' -f- bd!i^ — db'a\ et nous trouverons

{^b'â'- db")^{a'b''--' b'a")^

^, {db''^bd:'^{ba"^ab")'i

En désignant donc par u la somme X' -i- ?/* -h A"", nous avons

-4- [r/^" — 6rr - («r — *€/")>]•

U se trouve ainsi exprimé au moyen de la seule indéter«* minée y; posons

b'é!*^ db" = A , tlb" — bdT = A', hd' - dWc=i A", a'^'' b'a" =1 B , «A" - ba" =z B', «^' - ba' = B'%

et Téquation précédente pourra s^écrire

R'/i = (A -uBv)> 4.(A'-f-B'v)^-f.(A"-l-B"v)%

( 38o ) ou, si nous ordonnons par rapport à v,

(B>4. B'^+ Wy-h 2{AB 4- A'B'-h A^'rjip

Diaprés la règle générale, résolvons cette équation, ce qui nous donnera

' B«-hB'«^B"

Pour que le radical soit réel, il faut que u soit au moins égali

(B» -f. B^'-hB^») ( A»-h A^»+ A^^') — (AB + A^B^ + A'BTy R»(B>-hB'»-hB''») '

ou à

(AB^ - BA^)»-h(A^B - AB")*-}- (A^B^^ — B'X^y R»(B»-hB'»-f-B"»)

Donc cette expression est le minimum de u^ la valeur

de V correspondante est '— — ^ — ^7; — ^^ » qu'il faudra

porter dans les expressions de X, X', X" pour avoir celles^i.