CHAPITRE Xn (p

I. Quelles sont les progressions par différence dans lesquelles la somme de deux termes quelconques fait partie de la progression ; et les progressions par quotient dans lesquelles le produit de deux termes fait partie de la progression ?

Soient 11 et u deux termes quelconques d'une progression par diilérence dont la raison est r, on aura

« -I- r =r 2fl H- [fi -\-//)r.

( 38i ) Si tt 4- »^ est un terme de la progression, on a aussi

tf -I- f» = fl H- ^r.

En comparant ces deux valeurs de ii + i^, on voit que le premier terme a sera un multiple de la raison.

Considérons maintenant deux termes quelconques d'une progression par quotient; ils seront

et Ton aura u\^ = a* 9"+^; ni^ étant un terme de la progression, on a aussi uv^=i aq^\ a est donc une puissance* de la raison.

III. Dans quelle^ progressions par différence exisle-t-il un rapport indépendant de /i, entre la somme des n pre* miers termes et la somme des n suivants.

La somme des n premiers termes est

la somme des n suivants esl

et l'on aura

S nr-\~2,a — r nr}

S' 3«r-+-2a — r na — r

Ainsi en général ^ n'est pas indépendant de /i, mais il tend S

vers -x à mesure que n augmente. Le raisonnement n'est

en défaut que lorsque r est nul, parce que Ton ne peut plus diviser les deux termes de la fraction par r. Dan»

S ce cas, ^, est évidemment constamment égal à i, et la

progression cherchée a tous ses termes égaux à a.

V. Si Ton prend la suite des -nombres impairs i , 3, 5, 7, . • ., et (ju'on la sépare en groupes dont le premier ait un ierme, le second deux termes^ le troisième trois, etc., la somme des termes d*un même groupe est un cube.

Le nombre de termes qui précèdent le n'^"^ groupe est

k I -h a-h3 -h., .-h» — I, ou à -^^ ^ On

trouve alors facilement le premier terme da /i'*** groupe; il est I -f- /i (/i — i), et il nous reste à trouver la somme des n termes de la progression

n[n — i) -hi, n(n — i)-h 3, . . . , n{n — i)-t-a/f — i;

„ [nin — i) -4- I H- «(« — 0 -h a« — i]n •

elle est t— ^ ' ' — ^ i— i- ou «'.

VI. Si Ton considère la suite i , 2, 4? 6, 8, lo, . . . , la somme des n premiers termes est impaire et, augmentée des n — I nombres impairs suivants, elle donne un cube.

La somme des /» — i nombres 2, 4» ^v» ^'* — ^ ^^ n(n — i), et la somme des n nombres impairs que nous recherchons est

/i(/i — i)-h I -t- /«{« — i)-h3 -h. . .-♦-«(/i — i)h- a/i — I, comme dans Texercice précédent^ elle est donc n*,