XI. Trouver la limite de la somme des fractions

dont les numérateurs forment une progression par différence, et les dénominateurs une progression par quotient. Désignons par S la limite de cette somme, nous aurons

12345 ce qui peut s'écrire

123 4 La première série est une progression par quotient, dont

(384) la somme des termes est égale à i ^ la deuxième série est

(^ale à - ; on a donc d'où

XIII. Si dans une progression par différence trois termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 6, à moins que le premier de ces termes ne soit 3. S'il y en a 5, la raison est divisible par 3o, a moins que le premier dc.ces termes ne soit 5, et » il y en a 7, elle est divisible par a lo, a moins que le premier de ces termes ne soit 7.

Considérons en général h termes consécutifs d'une progression par différence

tf, a-4-r, a-har, .., a -+-(X — i)/-,

et supposons h un nombre premier; si aucun de ces termes n'est divisible par Ar, r est divisible par A.

En elTet) supposons, si cela est possible, que r ne soit pas divisible par Ar, je dis d*abord que les restes de la division des nombres r» ar, 3r,. . ., (A — \)r par k seront tous différents, et, par conséquent, seront dans un ordre quelconque i , 2, 3, . . . , /r — 1 .

Car, si deux de ces restes étaient égaux à a, m et /» étant des nombres plus petits que K, on aurait

et par suite

et

( 385 ) ce qui est impossible, puisque le nombre premier k ne peut diviser ni m — «, ni r.

Or a n'étant pas divisible par Ar, l'addition de a à un des nombres i, a, 3, . . . , A' — i donnera un nombre divisible par A:. Ainsi il est impossible de supposer que r ne soit pas divisible par k.

Cela posé, si dans une progression par difieience deux termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 2, à moins que le premier de ces termes ne soit 2.

Si trois termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 3 9 à moins que le premier de ces termes ne soit 3; elle est d'ailleurs divisible par a; donc elle est divisible par 6.

Si cinq termes consécutifs sont des nombres premiers, là raison est divisible par 5, à moins que le premier de ces termes ne soit 5 ^ elle est d^ ailleurs évidemment divisible par a et par 3 ^ donc elle est divisible par 3o.

On voit de même que si sept termes consécutifs sont des nombres premiers, la raison est divisible par 3o X 7 ou a 10, si le premier de ces termes n^est pas 7.

XIV. Dans une progression par quotient dont le nombre des termes est impair, la somme des carrés des termes est égale à la somme des termes multipliée par Texcès de . la somme des termes de rang impair sur la somme des termes de rang pair.

Soit

H a : «7 : ag^ : ... : ag*

la progression donnée ; 71 y est pair, et les carrés des termes de cette progression forment une autre progression par quotient

Les sommes des termes de ces deux progressions sont

Ann. de Uathém., t. XIX. (Octobre 18G0 ) a5

( 38<> ) respectivement

7 — 1 ' qr'—i

Si peut s'ëcrire

Or, n 4- I étant impair, on aura, en effectuant la division de 9**+* -+- 1 par y 4- i

= ^"— ^"-'-*-^*-f-. .— ^-hi.

Donc

XV • Éliminer jr entre les deux équations

Les premiers membres de ces deux équations sont deux progressions dont les raisons sont - et ^^ ces deux équations peuvent donc s'écrire

Divisant la seconde par la première, on a

( 387 ) On aura donc les deux équations

Retranchant ces deux équations membre à membre^ on

aura

^» — a^ ft'" H- à^

d'où

On portera cette valeur dey dans Téquation

y ^x et après les réductions, on trouvera

équation qui ne contient plus que x.

XVL Trouver une progression par quotient, connaissant la somme de ses termes, la somme de leurs carrés et celle de leurs cubes.

Les carrés et les cubes des termes de la progression cherchée forment aussi une progression par quotient. Soient S|, S|, Ss la somme des termes, la somme de leurs carrés et celle de leurs cubes, on aura les trois équations

(388 ) dans lesquelles a^Ij g sont les trots înconniies. Divîsoos membre à membre les deux dernières équaUons par la première, et nous aurons les trois équations

Les deux premières ne contiennent les Inconnues qu'au premier degré; tirons a et ^ de ces deux équations, nous trouYerons

(a; ^ — sî — a/S.-hS, ** "*"" SÎ-2/S.H-S,

Portant ces Yaleurs de ^ et de a dans la troisième équation, nous aurons une équation qui ne renfermera plu» que rinconnue /; elle est

s»(3s; — 6/sî -h 4/^51 H- s; — 2/s,s,)

i=S.(3/»S; — a/SÎS,— 6/S.SÎ-I-4SÎSÎ -l-rSÎ); let si on la résout par rapport à /, elle devient

B.(s;-i-4s.S3-4-3Sî)/»— 2(srs,— 3s;sa-h3SîSî— s»s,s,)/ -i-4s;s; — 3s;s,~s;s,=o.

/'étant trouvée par cette équation du second degré, on portera sa valeur dans les expressions (a), et Ton aura aeiq.

SeLUTION DE LA 9IIBSTIMI 5M

(voir p. 49 ; ;

Par J. de VIRIEU,

Régent à Saumur.