COS2ACOS2B4-COS2ACOS2C4- COS2BCOS2C

= cos A cos ( 2C — A) 4- cosB co« (2 A — B) 4- cosC cos(2B — C).

QUESTIONS

545. Quel est le lieu que doit décrire le centre d^une sphère, pour que la polaire réciproque d'une surface du second ordre donnée, par rapport à cette sphère, soit toujours une surface de révolution. (Lagcerrb-Verlt.)

546. Etant donnée une conique A, trouver les transformations qui la changent en une conique B , de telle sorte que les normales à la conique A restent par la

( 4o5 ) iraiteformation uormales à la conique B. Mèoie question pour les surfaces. (Laguerre- Verly. )

547. Lorsqu'une conique est circonscrite à un triangle, la somme des carrés de ses demi-axes est égale au carré de la tangente menée de son centre au cercle des /leu/points, multiplié par le produit des distances de ce centre aux côtés du triangle et divisé par le produit des dislances de ce centre aux droites qui joignent les milieux des côtés du triangle. (Faure, capitaine.)

648. Une conique passant par trois points A, B, C touche une droite donnée; appelons a, j^, y les distances respectives de ces trois points à la droite ; F étant un des foyers de la conique, on a la relation

[ «(FB — FC)^— BC' ]' 4- [p{FC — FA)> — ÂC'J *

+ [v (FA ~ FB)> — Âb'] ' = «-

Observation, On a ainsi très-simplement le lieu du foyer des coniques qui passent par trois points donnés et touclient une droite donnée. Les coordonnées cartésiennes mènent à une équation du soixante-quatrième degré.

(Fatjre, capitaine.)

549. Le lieu des foyers des coniques inscrites dans un quadrilatère est une courbe du troisième ordre, qui passe, comme on sait, par les six sommets du quadrilatère complet; mais elle passe aussi par les pieds des hauteurs du triangle déterminé par les trois diagonales du quadrilatère, et comme elle passe d'ailleurs par les deux points situés à f infini sur un cercle, cette courbe doit occuper parmi les courbes du troisième ordre le même rang que le rercle dans les coniques; ainsi elle a comme le cercle un double foyer. (Fai re. rajiiiaîae.)

(4o6 ) 350. Soit «

Téqualion d'une ellipse (coordonnées reclangulaires) ; par un point de sa développée on peut mener trois normales à Tellipse, dont deux ne sont pas tangentes à la développée: la corde qui réunit les pieds de ces deux normales est normale à l'ellipse qui a pour équation

(Dbsboves.)