Démontrer que Téquation
est impossible en nombre rationnel, lorsque p est de la forme 4'» -h 3 {*). (Le Père Joube^x.)
552. On donne une conique ; quel est dans le plan de f et te conique le lieu d'un point tel, que les deux tangentes menées de ce point à la. conique et la corde de contact forment un triangle ayant un péri mètre donné? Déterminer directement une construction géométrique de la tangente eu un point quelconque de ce lieu. (Ma««heii€.)
553. Ëtant donnée une équation algébrique n ayant pas de racines égales, si Ton applique à cette équation le procédé Sturm, et si l'une des équations ainsi obtenue a des racines égales, Téquation donnée a nécessairement des racines imaginaires. (Rouget, professeur.)
(") Mémoire sur la théorie des fonctions elliptiques et son application à la théorie des nombres. In-4 ^* 35 pages ; 1860. — Savant travail faisant suite aux travam de MM. Hermite et Kronecker sur la limite du nombre 4.C eerUioes classes à^n déterminants; a« delà de cette limite le nombre des classes quadratiques surpasse nécessairement un nombre donné : une des questions les plus ardues de Tarithmologie et qui n'est pas encore com~ l>létement résolue.
SUDATION
4es rapports uhanoiupes eorrespoidait m radies d'ue éfutiei di
qialrièse degré;.
Pab m. l. painVin,
Professeur au lycéo de Douai (*}.
1 . Désignons par Xi^ Xt^ x$j Xk^ les quatre racines de l'équation
(i) ÀJC*-|-4Bj;r>-4-tfC«>-f-4l>*-+-E=5:o,
et par a^ h^ c^ d^ les points déterminés par les longueurs Xi^ x«, x%^ x^^ portées sur une ligne droite^à partir d'une même origine ^ points-racines»
A ces quatre points correspondent six rapports an* harmoniques, savoir :
ac bc ad cd ab db
'''^ ad'' bd' '''~ab • rb'
ac
et
Si maintenant on pose
pi= '•i-h -t
(^) Récemment nommé; remplaçant M. Dayid^ nommé professeur à la Facilité 4e Lille.
(4o8) les qaamitëft pi, pt, />«, senMit les racines de rëqaatîon
(3) p*— .Mp»-+-Np — P = o,
ou «
!M = p, + p,-|-p,, W =p, pi-4-pipj-h/îjpj, P=p, p,p,.
D s'agît actuellement de déterminer les coefficients de l'équation (3) en fonction des coefficients de Féquation (i). Le calcul direct est presque inabordable ; je crois donc utile de développer quâques considérations qui m^ont conduit au résultat cherché.
2. Je rappellerai d'abord les relations qui existent entre les rapports ri, Ts, 7V :
d'où
r, rjrjrn — i.
(Géométrie supérieure ^ p. a$.)>
De plus,
la valeur de r^ est dans le cas actuel
(ft)
en posant
(p = (ar,^x,)(.r4 — x,)^
|y = (ar, — a:,)(x4 — X|).
On trouve alors,
sans aucune difficulté, en ayant égard
(4o9) aux relatioBS (5) et (6) :
M=r, -h--hr,-h-4-r,-H-=s3;
Or on constate aisément que le dénominateur de N et P n^est autre que le produit de^ earrés des difTérences de Téquation (i), c'est-i-dire le discriminant de cette équatioQ \ en le désignant par ù, nous aurons
(8) ^==p'qHp-qY
=(x,— Xa)» (j?,— X3)» (JT,— X4V (ar,— xj* (^a— «4)' (arj— x,)».
Nous obtenons ainsi les trois relations
!M=:3 i*^ AN=/>»— 3f^q +3/7^^'— /?»7*
-l-3/7V-3/?7»4-9«; 20 — A(PH-4) = 2|?« — 6/;»^ + 7/7«y»— 4/?^^»
3. On peut combiner les deux dernières équations de manière à faciliter beaucoup le calcul des coeilQcients N et P.
De l'égalité a'' retranchons le douUe de T^alité i^, il vient
d'où
(lo) aN — P = 5.
De réalité a® multipliée par 3 retranchons réalité 1^ multipliée par 5, il vient
Mais le second membre est le cube de (p* — P9 + ?*)> on a donc
La détermination des coeiBcients M, N, P, se trouve ainsi ramenée au calcul des deux quantités A et
