I = AE — 4BD4-3CS
^ ( J = ACE -h 2BCD — AD' - EB»— C*,
on a, d'après un théorème connu,
(i3) ' AVA = T6'[P— 27J»].
On trouve d'ailleurs facilement que (i4) A'(/?»-/l9-^9»)=^a.l.
l^sëgalilés (lo) et (i i) deviennenl alors
on en déduit
' \ SoP-h4 ^7 J'
En ayant égard k ces valeurs (i5) et à la première des relations (9), T équation (3), qui estréqualion cherchée, ' deviendra
/ ^N a Q, .5P-f-4.27.J« , 5oP-h4 27.r
Cette dernière équation peut aussi s'écrire sous la forme suivante, aussi simple qu'élégante :
(17) P(p-4-2)(p«^y=27J'(pH-l)^
Ou voit ainsi que Téquaiion aux rapports anharmoniques des racines de 1 équation (1) ne dépend que des invariants fondamentaux I et J de cette équation. El, en outre, les racines de l'équation (l6) ne dépendront que
du rapport - •
Si pi est une racine de Téquation (16), en posant
on aura une équation du second degré qui déterminera un des rapports anbarmoniques et son inverse.
(4ia)
5; La résoluûon de l'équation (16) ne saurait présenter de difficulté*, je n'insisterai donc pas sur ce sujet, et je mécontenterai d'ajouter les remarques suivantes :
1°. Si Féqualion (1) a deux racines égales, c'est-à-dire si son discriminant est nul, ou, en d'autres termes, si l'on a
(i8)- P—27J»=rO,
l'équation (16) se réduit à /s = 2, et admet deux racines infinies ; il y a donc deux rapports anharmoniques nuls et un égal à l'unité : résultat évident à priori.
2^. Si les quatre points correspondant aux racines de l'équation (1) forment un système harmonique, on devra avoir, par exemple, r^ = — i , et par suite , pt = — 2 ; Téquation (17) devra donc admettre la racine — 2, ce qui conduit à
La réciproque est facile à vérifier; on retrouve ainsi un théorème connu.
3**. Si l'on suppose pi = i, c'est-à-dire
l'équation (17) nous donne
la réciproque est également vraie. La condition pour que les trois rapports anharmoniques soient égaux est donc 1 = 0.
4^. L'éqtiation (16) ne peut avoir une racine double que lorsque
(4i3) ou bien lorsque
Ces deux hypothèses nous conduisent aux deux premiers cas déjà examinés.
