Soit le triangle ABC

a = o équation du côté BC, P = o ~ AC,

a 4- /p =0, ^ -h my = o.

( 3o4 ) sont évidemment les équations de droites passant respectivement par les sommets C , Â , B ; lorsque l'on a la relation (i) I -f- Imn = o,

les trois droites passent par le même point; carunede ces équations est alors la conséquence des deux autres. Une au moins des trois quantités doit être n^ative. Prenons un point quelconque Xij^i sur la droite

on a

Au rapport ^ on peut substituer le rapport entre les

sinus des angles que fait la droite a + Ti^ avec les côtés a et /3 ^ de même pour les deux autres droites. On voit d'après cela que les trois bissectrices , les trois médianes , les trois hauteurs satisfont à Téquation (i) ^ donc dans chacun de ces systèmes les trois droites se coupent au même point.

On déduit aussi facilement les propriétés segmentaires.