S OB'. OC

Il serait facile de voir que le théorème subsiste encore quand la transversale rencontre un côté et le prolongement de l'autre , ou bien encore quand le point O est à l'extérieur de l'angle. Alors la soinme se change en différence. L'énoncé général exige qu^on dise la somme algébrique.

mmm m u question 35^

(voir l XV, p. 464) ;

Par mm. BOYELDJEU f.t A. SILVESTRE,

Élèves de M. Catalan.

On donne quatre droites A==b, B==05C = o, D = o et un pointO dans leur plan *, on joint ce plan au point d'intersection deA = oetB = o, et Ton prend la conjuguée harmonique de celle droite par rapport au système (AjB); on fait de même par rapport au système (C, D). Ces deux droites se coupent en un point (1). On opère de même par rapport aux systèmes (A, C) et (B, D), puis (A, D) et (B, C). On obtient ainsi deux nouveaux points d'îniersection (2) et (3) en ligne droite avec le premier.

Démonstration,

Si Aj, Bj, Cj, Di sont les valeurs que prennent les premiers membres des équations de nos droites quand on y remplace les coordonnées variables par celles da point Oy

sera la forme de ré(|ualion des droites joignant le pçint O aux points d'intersection des droites données.

On sait d'ailleurs que les deux droites P-f- AQ = o, P — XQ = o sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites P = o et Q = o.

Ceci étant . les équations de nos conjuguées hannoni-

qnes pourront se mettre sous la forme

d'où Ton voit immédiatement que la droite

passe par les trois points d'intersection dont il s'agit.

Note, Un abonné de Marseille fait observer que dans un quadrilatère plan les droites qui joignent les milieux des côtés opposés et les droites qui joignent les milieux des deux diagonales se coupent en un même point. La perspective de cette figuré donne le théorème 353 dont le théorème 354 est le corrélatif. L'élégant mode de solution de MM. Boyeldieu et Silvéstre s'applique avec un égal succès au théorème 353.

(voir tome XV, p. 94S);

Par m. more au,

Élève du lycée Saint-Louis ( classe de M. Rriot).

Soit