L'équation du cercle étant

7 (Psin A -f- a sinB) + a^sinCs o, montre que la droite

psinA-f- asinB = o louche le cercle au point C ; de même

psinC-h7 sinB = o touche le cercle au point A f

7 sin A 4- a sin C == o

touche le cercle au point B.

Ces équations montrent intuitivement que les points où les tangentes rencontrent les côlés respectivement opposés du triangle ABC sont en ligne droite.

10. Lemme. Soit un triangle formé par doux tangentes à un cercle et par la corde qui joint les points de contact \ la distance de chaque point du cercle à la corde est une moyenne proportionnelle géométrique entre le

ao.

reclaiigle des distances du même point aux deux tangentes.

H. Théorème. Le cercle inscrit au triangle ABC a pour équation

a* cos- A -f- S' cos -B •+• v'cos-C = o.

Démonstration, Soient A', B', C les sommets des points de contact situés respectivement sur les côtés 6C, AC,AB,et

les équations des côtés B'C, A'C, A'B'^ réquation du cercle inscrit à ABC, maïs circonscrit à A' B'C, est

a' p' sin a -t- p' 7' sin A' H- 7' a' sin B' = o.

Or, d'après le lenime,

et

C' = 9o° — -C, A' = 90°— -A et B' = 9o'» — -B;

donc Téqualion du cercle inscrit est

i j il J. ,

a' ces- A 4- 3' cos-B 4-7' cos-C = o. 2 "^ 2 ' 2

Obseri^alion . L'équation d'une conique îuscrile dans le triangle ABC est en général

P a^ + /;?' p2 -4- /?' 7' — 2 /iî« P7 — 2nloLy — 2 m/a^ = o, ou , ce qui revient au même ,

( 3o9 ) pour le cercle inscrit, on a ^

/ sr cos* - A, m = ces* - B , /« = cos' -< C.

Nous reviendrons souvent sur cet ouvrage hors ligna qui est devenu classique en Angleterre et qui mérite cetïc distinction partout. Un éditeur inlelligenl rendrait service au pays par l'importation d'un produit qui nous manque complètement, et, hàtons-nous de le dire, un produit qui n'est pas contraire aux Programmes.