Réciproquement, connaissant T4, ou peut déter
(*) Pour déterminer T^ , on peut remplacer les courbes L, M par leurs tangentes T, , T, ; le lieu décrit par le point d^ est alors une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux droites T^ , T, ; on détermine ces asymptotes, et, par suite, T^.
C**) Pour un mouvement infiniment petit de ah y les normales aux courbes décrites par tous les points tels que </, enveloppent une parabole tangente aux droites ra, ca' .
( 325 ) miner c comme ou Ta dit (5) en remplaçant les courbes données par leurs tangentes.
On peut aussi tracer les normales aa\ di d\ , bb^^ puis chercher une droite perpendiculaire à ab qui soit coupée par ces normales aux points a', (f^, b\ de façon que
a' d^ adx
Cette droite , qu'il est facile de déterminer, coupo ab au point cherché.
Remarque. Soit j le point de rencontre de aa' et de bb'^ menons jd^ et abaissons du point/ une perpendiculaire sur ab\ cette perpendiculaire > les droites /a, jb et jd\ forment un faisceau dont le rapport anharmonique
1 1 . On déduit de la proposition suivante plusieurs constructions pour obtenir le point c.
Problème. Trois droites Ti, Tj, T4 étant données, on mène une droite ab qui coupe Tj au point a , T^ au point h et T^ au point di'^ on a
adx
-r-: = constante.
On demande Venv^eloppe de ab et le point c ou elle touche son eni^eloppe (Géom. sup., p. SSa).
Solution. Soient t et t' les points où T* coupe T, et T,.Ona
ad, /^sin(T,, T4)
.?i6"~^^sin(T5,Tj'
doù
ta
-7T = constante.
L'eni^eloppe de ab est donc une parabole tangente aux trois droites données.
Pour déterminer c , on a
ac ib c(ly at TI^^J?^ dJb^tT'
D'où les constructions suivantes :
i^. Du point df on mène une parallèle à Tf , celte droite coupe tb en un certain point ] de ce point on mèoe une parallèle à Ti qui coupe ab au point cherché. On a une construction analogue en menant at\ etc.
2^. Par le point t on mène une parallèle à ab^ par le point a une parallèle à T^ , ces deux droites se coupent en un certain point, la droite qui le joint au point t' coupe ab au point c. De même en menant par le point t* une parallèle à ab^ etc.
3". Par le point b on mène une parallèle à T^, cette droite coupe idi en un certain point; de ce point on mène une parallèle à Tj qui coupe ab au point c. De même pour le point a , etc.
4°. Par le point b on mène une parallèle à Tt , celte droite coupe at' en un certain point \ de ce point on mène une parallèle à T4 qui coupe ab au point c. De même pour le point a, etc.
Ces constructions, à Texception de la dernière, donnent T4 en opérant inversement.
12. Lorsque la courbe L se confond avec H , le point a' est le centre de courbure de la courbe H et la circonférence Oi est décrite sur le rayon de courbure comme diamètre.
Cette reraar(jue permet de déterminer la tangente au lieu décrit par le sommet de triangles semblables construits sur la portion de tangente comprise entre son point de contact et un point où elle coupe une courbe
( 3^7 ) quelconque) el , par suite, i la courbe décrite par un point qui partage cette portion de tangente dana un rapport constant. Réciproquement, connai^sanl cette tangente, on peut déterminer le ceiUre de courbure de la <2Qurl}e H. ,
Applications à la recheixihe des centres de courhure
des coniques (*).
13. Soient A et B le grand axe et le petit axe d'une ellipse, o le centre de l'ellipse, m un point quelconque de cette courbe, T et N la tangente et la normale passant en ce point.
T coupe A au |>oint r et B au point t\ N coupe A au point n et B au point //.
Ou sait que — ; est constant.
* mn
Pour un mouvement inflnimenl petit de N, n parcaurt A , n' parcourt B et m parcourt T 5 on demande le |>oint autour duquel la droite N a tourné, c'est-à-dire le centre de courbure (5).
Il faut pour oela chercher le point /en circonscrivant dea circonférences aux triangles déterminés par les droites A, B, T, N, puis décrire par ce point une circonférence tangente à T au point m \ cette circouférence coupe N au point cherché.
Il n'est pas (ucme nécessaire de décrire aucuue circonférence. En effet le point/ est le point de rencontre de tn' et de t'n comme il est facile de le voir en remarquant que les angles (T, N) et ( A, B) sont droits. On joint le point/' au point m, on élève /c perpendiculaire à///ï, le point
(*) Théorie géométrique des rayons et centres de courbure , in-8 de 84 p.; 1SS7. M. Ern«sl Lamarle détermine les eentres de courbure par un mouvement de rotation analogue au mouvement de translation de Roberval pour les tangentes. Quel moyen cynémaliquc employer pour les ausculalions d'ordre supérieur? Tu.
{ 3a8 ) de rencontre c de cette ligne et de Cf est le centre de combure cherché.
14. Le point f est le foyer de la parabole tangente aux droites A , B, T, N-, l'angle (T, N) étant droit, le point m est un point de la directrice de cette parabole , et, par suite , c est le point où cette courbe touche N.
On peut déduire de là que :
La parabole tangente aux axes d'une ellipse à la tangente et à la normale passant par un point donné touche cette normale au centre de courbure de Vdlipse.
