La circonférence c/m coupe tn* en
/^\ y^ /\ c/^ n' = cmf-= otn* ,
donc cf est parallèle à A , et , par suite , mf' à B, ce qui donne une nouvelle construction du centre de courbure. On peut aussi considérer le point de rencontre P de la circonférence cfm et de Vn^ la droite mf" est parallèle à A et c/'' à B (*).
16. Par le point n on mène B' parallèle à B; par le point 71 ^ A' parallèle à A. Il faut, pour obtenir c (10) mener une droite parallèle à T et qui soit partagée par
N, A', B' dans le rapport
La construction se réduit à mener par le point / , intersection deB' et de tn!^ une parallèle à T. Cette droite coupe N au centre de courbure.
mn wn'
(*) J'étais arrivé depuis longtemps à ce résultat en construisant directe-
ment Tabscisse du centre de courbure Ç = — -—
Soit 7 le point où wff parallèle à A, coupe B, on a
qf qm f Jr
on ^ ot c* X ar
rt'
«l'où etc.
17. Ce que Ton vient de dire (14, 15, 46) peut se conclure du n^ 11 ; on peut en outre déterminer c à l'aide des autres constructions indiquées dans ce numéro.
18. A partir du point m sur N je porte ms = msf = le demi-diamètre conjugué de om.
On sait que os est égal à la demi-somme des axes et que os^ est égal à leur demi-différence. Pour un mouvement infiniment petit de N , les points s , 5' décrivent des arcs de cercle et le point m, milieu de 55', un élément de T; les normales à ces trois courbes sont 05, os' et N. En appliquant la remarque du n" 10, ou conclut que oc^ oSj os' et la perpendiculaire abaissée du point O sur N forment un faisceau harmonique. On a donc
en appelant p le rayon de courbure mc^ /i la distance du point o à T et <i le demi-diamètre conjugué de om. Cette expression de p est connue, nous la retrouverons plus loin comme cas particulier.
19. Une droite ab, corde d'une certaine courbe N, détache de cette courbe un segment d'aire constante^ on demande, pour une position de ab, le centre de courbure de la courbe em^eloppée par cette corde.
Au milieu de ab on élève une perpendiculaire, on prend le milieu de la portion de cette droite comprise entre les points où elle est coupée par les normales menées à la courbe N aux points û, fc 5 ce point milieu est le centre de courbure cherché (12).
Comme cas particulier, on a Thyperbolc lorsque la courbe N se réduit à deux droites.
Voici un autre cas particulier :
Soient uuc ellipse dont le centra est o (*) ^ m un point de la courbe et T la tangente en ce point. A partir du point m sur T, on porte deux longueurs égales mm^ mi. On peut considérer ab comme la corde d'une ellipse semblable à o; la corde détachant un segment d'aire constante, le point m décrit l'ellipse donnée; on peut donc appliquer la construction précédente. Pour obtenir les normales aux points a et &, on opérera de la manière suivante.
Au point a on mène la tangente aa^ à l'ellipse donnée, a' est le point de contact , la perpendiculaire abaissée du point a sur ma^ est la normale cherchée ; de mèiae poor le point b. Les deux normales coupent la normale au point tn y etc.
De cette construction, on déduira facilement ce qui suit:
Au point (i on mène une parallèle à mV, au point b une parallèle à ma' , ces deux droites se coupent en un certain point; H désigne la distance de ce pointa T. D étant It longueur tna , on a
Dans le cas particulier où D est égal au demi-paramètre conjugué de o/n, la construction précédente se simplifie et Texprcssion du rayon de courbure devient celle qui a été donnée (18).
20. On peut chercher le centre de courbure de la parabole eu s'appuyant sur celte propriété que la tangeute au sommet partage en deux parties égales la portion de laugentc comprise entre la courbe et Taxç.
Î2i. Soit bfc un triangle rectangle mobile et variable dont le sommet de l'angle droit est fixe en /et dont Thy-
(*) On csl prie tic faire une figure parliculicrc.
( 33. ) poténuse Ih) est tangente à une circonférence donnée o. he point c est le point de contact mobile*, on demande la normale au lieu décrit par le point b.
Le milieu a de bc décrit une droite, axe radical def et de o .
A l'aide de cette remarque , on trouvera facilement la coQStructiou suivante :
Par le point a on mène une parallèle àfo ; celte droite, perpendiculaire à Taxe radical, coupe le rayon oc au point a\ On prolonge oa^ d'une longueur égale à ellemême jusqu'en A', bb^ est la normale cherchée.
&' a prolongée coupe q/au point e et Ton a
Cette remarque nous sera utile.
2î2. Considérons une conique ayant pour cercle osculateur la circonférence o de la question précédente et pour foyer le point/.
Le point b parcourt la directrice , on connaît donc bb\ hb' coupe la normale co au point b\ joignons ce point au point a, milieu de bc ^ prolongeons b' a d'une longueur égale à elle-même jusqu'en e.
Les droites efei è' ç se coupent au centre de courbure.
On peut facilement transformer cette construction de la manière suivante : Du point c on abaisse une perpendiculaire sur la directrice , au i on élève une perpendiculaire à bc , ces deux droites se coupent en un point d^ fif coupe la normale co au centre de courbure.
Cette construction est applicable aux trois coniques^
En considérant la seconde directrice , on obtient une nouvelle droite passant par le centre de courbure. On est ainsi conduit à la construction suivante :
On élève une perpendiculaire à la tangente au point où elle coupe l'axe parallèle aux directrices j celte droite
coupe la parallèle cg à l'autre axe au point g, La droite qui joint g au centre de la conique coupe la normale aa centre de courbure cherché.
33. Pour terminer, énonçons quelques questions que Ton traitera facilement :
i". On donne trois courbes A jB^C et un point fixe o par lequel on mène une transi^ersale arbitraire qui coupe
les courbes aux points a , b , c ; o/i prend sur cette tram-
cd rersale un point d tel, que -r- = constante. On demande
la tangente au lieu décrit par le point d (*).
Comme cas particulier , ou a la conchoïde du cercle, la cissoïde de Dioclès, etc.
Si la courbe C se réduit au point o et si les lignes  et B
sont droites , le rapport -y étant i, le lien des points d
est une hyperbole; on a alors la construction suivante qui nous a été donnée par M. Moutard.
Soityic point de rencontre de  et B; on prolongeai d'une longueur égale à elle-même jusqu'en g^ dg est la tangente cherchée. On applique cette construction dans le cas où les lignes A et B sont quelconques en les remplaçant par leurs tangentes.
2**. Étant données deux droites A ^B et une courbe C^ d'un point de la courbe on mène des parallèles aux droites fixes, on joint les points a , b ou ces parallèles coupent A , B ; on demande le point oii ab touche son enveloppe,
3". On partage le rayon de courbure d'une courbe donnée dans un rappoit constant ; ces différents points déterminent une courbe dont on demande de construire la normale.
(*) Les points a doivent ôlrc consécutifs sur la courbe A; de mémo les points fc , c. Tu.
(voir page 68);
Par le P. H. ROCHETTE, S. J.
On donne un angle trièdre de sommet S et deux points fixes A et B situés sur une droite passant par le sommet S. Par le plan 6 on mène un plan quelconque déterminant un tétraèdre T de volume V. Soit P le produit des volumes des quatre tétraèdres que Ton obtient en joignant le point A aux quatre sommets du tétraèdre T. On a la
relation
— = constante.
(Faure.)
Soient j:i,yi, z, , X8,/î , z,,..., 0*0,^6? ^e les coordonnées des points S , A , B , L , M , N •, nous désignons par L, M, N les points où le plan mené par le point B rencontre les arêtes du trièdre. Les coordonnées des trois premiers points ainsi que les angles a , ]3 , y des arêtes avec les axes sont des quantités déterminées , et X , fjt, v, qui représentent les longueurs SL , SM , SN, des quantités variables.
Les équations des arêtes seront
^ ' ' «2 pa 7t
•2^6 ~~ ^1 X^ Xx ^___ ^6 "~~ 2|
Désignons par Vi , V, , Va , V4 les volumes des pyra-
( 334 ) mides SALM , S ALN , SAMN , ALMN 5 nous aurons
Remplaçons dans ce déterminant X4, y*, ^4, JCs, j^i, ^5 par leurs valeurs tirées des équations (i) et retranchons des éléments des trois dernières lignes ceux de la première, il viendra
I J^i yx «I
o j:, — ar, /,— ri «j — 2i o Xa, >p, >7,
I O fxa, fxp, f*7,
Xa — X, Jj— J, «, — «I =r >^ «. pi 7i =>/aA;
«3 pi 7î
on trouvera de même
6V,= a. p. 7, =r>vB
Xj — X\ y^ — y\ Z3 — 2| 6V3= «î p» 7» =fAvC,
A , B) C représentant, comme on voit, des quantités connues.
On a enfin
I Xi yi Zj
Si nous remplaçons 0:4 ? J'i > -^4 > -^s > X» > ^« ^ -^fi ? ^e 5 -^6 par leurs valeurs tirées des équations (1) , les éléments des trois dernières lignes du déterminant résulteront de la somme de deux quantités, ee qui nous permettra de le décomposer. Nous trouvons ainsi
6V4 = — V^ +).vB--fxvC-^ VvD, en posant
Cette transformation devient plus facile, si Ton a soin de relrancher les éléments ligne par ligne quand l'occasion s'en présente. D'un autre côté, les quatre points 6 , L , M , N étant dans un même plan , on a
OLi
^3 Xz
et, à cause des trois points S, Â, B en ligne droite,
^3 «^1 Xi "^ X\ ^3 ~~" ^1
X2 — Xx Xi ""• X^ ^a "~" ^1
Le déteiminant (2)9 à cause des équations (i), nous donne
X3 Xx X^ /• *3 *l
«1 pi 7i
a, Pj 72
«3 Pi 73
•2P3 — «an j3 — ji «3 — «I «1 pi 7«
+ >pivD = o (*).
(*) n suffit pour obtenir cette relation de remplacer j-,,^,, «, par *,, y^^ £, dans le développement du déterminant qui représente 6 V^.
( 336 ) On peui conclure de là , à cause des équations (3) ,
et, par conséquent,
Mais on a, comme on sait,
d'où , en combinant les relations obtenues ,
quantité constante, puisqu'elle est indépendante des variables 1^ IXyV»
(voir page 1S7); Par lb p. h. ROCHETTE, S. J.
Soit un déterminant complet dans lequel les éléments conjugués sont des nombres imaginaires conjugués et les éléments principaux des nombres réels. Le déterminant est réel.
Un déterminant du second ordre ainsi composé est évidemment réel ^ nous allons montrer que le théorème étant vrai pour un déterminant de Toixlre m — i l'est aussi pour celui de Tordre n. Soit A un déterminant de Tordre n satisfaisant aux conditions indiquées ^ développons-le suivant les éléments de la dernière colonne et
l ^^7 ) suivaut ceux de la dernière ligne , nous aurons
-+- ««,1 «n.i — On,7 «11,2 H- . . .ib An,» «ii,nf
en représentant, pour abréger, par a^,, ce que devient le déterminant A lorsqu'on y efface les éléments de la H^"** ligne et ceux de la s'^'"" colonne. On remarquera que d'après la composition du déterminant A, a,,,, s'obtient en
changeant dans a^,!? ^ = V— i en — /. Par conséquent, pour
on aura
De même à une valeur de
«r,i = p -{- qi
correspond une valeur de
a^,r = p— qi- On aura donc en général
Enfin Un^n ^n^n cst aussi réel , puisque par hypothèse l'élément a„,„ est réel ainsi que. le déterminant du (tj — i) ordre ûf„^n. Donc, etc.
leme
SOLUTION ne la question 384
(TOir t. XVI, p. 182) ;
Par m. J-Ch. DUPAIN,
Ancien élève de l'Ecole Normale.
La droite qui joint les extrémités des deux aiguilles d'une montre change à chaque instant de longueur et de
Ann-, de Mathémat., t. XVI. (Sepl^^i^l^re i8'>7.) ^2
dircciion. Trouver Tcnjuatioii de la ligne décriu; j>ar le milieu M de <'eUe droite.
Soient 2rt, '>.!) les longueurs des aiguilles, et a <^b. Je [)r'ends pour origine le ecMitre du cadran et pour axe des y la ligue de midi. La pointe de la petite aiguille a pour roordoini<''es
i>. a sin /li , 2 et cos ht en posant
La pointe de la grande aiguille a pour coordonnées
2^ sin /y, ibcos^t
en posant
ihoo*
Les coordonnées du point M sont moyennes aritfaméii(]ues entre celles des pointes des aiguilles
