X. == a sin ht -4- h sin /f , Y z= a cos ht -h /; cos It
Si Ton voulait les coordonnées polaires du point M , on aurait
( r- =L €1^ -h b^ -h ?. fih cos ( At — ht] y
( 2 ) '. /j c<)s ht -{^ b cos At
tangO = — —-. 7— — r-
l ^ tf sm ht -+- 0 sm A-f
L'inspection des équations (i) montre que le point M peut être censé décrire la circonférence d'un cercle dont le centre est mobile sur une autre circonférence; Tune d'elles indifféremment aurait pour rayon a et l'autre b : les deux mouvements sont uniformes et dans le sens de la marche des aiguilles.
Le lieu cherché est donc une épicycloïde que l'on peut
(339) 'concevoir décrite par le mouvement d*un cercle de rayon
( — 7 — j A ou — b roulant sur un cercle fixe de rayon
-rbovi — et entraînant avec lui le point M situé à une
distance a de son centre.
Il est très-facile de trouver la v esse absolue du point M . En effet
v^ = a^h^^ b^k^ 4- 2abAhcos(Ât^ ht).
La vitesse est maximum lorsque les deux aiguilles font un angle nul , et elle est minimum lorsque cet angle est de i8o degrés. (Il en est de même du rayon vecteur.) La vitesse ne pourrait devenir nulle que si ah= bk^ cas particulier que nous avons exclu en posant
L'aire décrite par le rayon vecteur OM a pour différentielle
— [xdy — ydx)
— ![«» /i — bn — «è(/--f- A)cos(^r— kt)]dt'.
elle est d'ailleurs égale à - /* r/6: on aura donc, pour la
vilessç angulaire,
d^ __^ c} h — b k — ab (/- -4- ^) cos [ht — ht) dt """ fl* -h é' -h ^ab cos [kt — ht)
Examinons si elle peut être nulle. Il faut pour cela que
cos ( kt -- ht):= j-j- 5
^ ab[k'Jr h)
condition impossible si le second membre est numériquement supérieur à i, c'est-à-dîre si j>tOU i2>7î
dans ce cas, la vitesse angulaire conserve toujours son signe et l'épicycloïde est allongée. Elle serait raccourcie
si 12 égalait j\ et enfin elle serait ordinaire si 12 <^t'
L'angle du rayon vecteur et de la tangeute a pour tangente trigonométrique
ou
dr rdr
Le numérateur de celte fraction est déjà calculé et son dénominateur est la moitié de la dérivée de r*, c'est-àdire
ab (A — h) sin ( kt — ht).
Pour terminer, je vais rapporter la trajectoire » des axes mobiles autour du centre du cadran avec une vitesse angulaire égale et opposée à celle de la petite aiguille. L'angle x' ox sera — ht^ et, en appliquant les formules ordinaires de transformation,
ûc' = b sin ( Ât — /it) ,
y = a -i- b cos ( Xr — //f ) , d'où
x'^-^çy — ay = b\
Dans le mouvement relatif aux axes mobiles , la trajectoire est un cercle ayant pour rayon la moitié de la grande aiguille et pour ordonnée du centre la moitié de la petite aiguille. Le mouvement est d'ailleurs uniforme. La pointe de la petite aiguille est un centre de similitude des cercles dcîcrils par le point M et par la pointe de la grande aiguille, résultais faciles à prévoir.
éooucce t. XVI, p. 109.
Par un Elève du lycée de Carcassonne.
Etant donnés un cercle et deux perpendiculaires à l'exirémité d*un diamètre AB , mener une tangente CD telle, que le volume engendré par le trapèze ainsi formé tournant autour du diamètre AB soit égal à une sphère de rayon donné ^l.
Je prends pour inconnues les segments interceptés 3ur les deux perpendiculaires par la tangente CD. Je joins le centre O aux points C, D et au point de contact T. Le triangle COD est rectangle et donne
OT = CT.TD; or
ACrrCT, BD=:DT,
donc
le trapèze ABDC engendre un tronc de cône dont le volume est
I TT (2R) (j;' -h r' 4- j^r ) == |^«'-
La seconde équation se simplifie par la suppression des facteurs coniimuns et l'élimination de xy. On peut alors isoler x*-f- j^^ \ puis par l'addition et la soustraction de 2 0^^, on obtient
{x-VyY et (.r-j)%
I /ï^^' I /art*
Pour que le problème soît possible, il faut que
le minimum de a est donc
