THÉORÈME SUR QUATRE CARRÉS

Par m. FAURE.

C'apitaine d^artillorie.

Théorème . Il est impossible de trouver quatre carrés lels, que la somme de trois quelconques d'entre eux diminuée du quatrième fasse un carré. (Euler.)

Lemme, Il est impossible de satisfaire en nonoibres entiers à l'équation

Si Ton pose

on a,

x"- — Q.tx -{- y"^ — 0 — ^ty = o ,

d'où

xz=:t±: sliT^^r/^^f;

( 3.p ) il faudra donc poser

Or l'on ne peut satisfaire à celte équation, puisque la somme de deux carrés ne peut être divisible par 3 et que d'ailleurs k et y — ^ ne peuvent être à le fois divisibhîs par 3 . '

Revenant au théorème d'Euler, je suppose que l'on puisse avoir à la fois les quatre équations

On en déduit

D^où il résulte que des quatre nombres a^h ^ c^ cl deux sont nécessairement pairs s'ils ne sont pas tous impairs On pourra donc poser

a -h b -f - c -{- (l = 2 A , a -^ h — c — d = 2Bj (I — b -h c — rf=:2B, — ^/-h /y-l-c — fl^=:2B,

d'oi

ou

2</=: A -h B -f-C— D, 2/> = A H- B — CH-D, 2(7 =: A — B + C + D, 2r/=iA — B — C— D

Le syslème (2 ) dotient ainsi

L'une des équations (i), la première par exemple, devient

2 (A + B)' +' (C -^ D)^ + 2 (A + B) (C — D) — i6fl', équation impossible d'après le lemme.