AM
est la projection de AG sur FA ; donc
AM = s cos (a H- w ).
De môme
BN = s cos (a — w ) ; donc
AM H- BN = / = 2 f cosa cosw.
Le travail de la puissance est par conséquent
P/= aPf .cosacosw,
et comme le travail de Q est
Q s cos w , on peut écrire
TP = TQ
en vertu de la relation
Q = 2 P cos a.
(voir p. 188);
Par m. E. DE JONQUIÈRES.
I. Celte question se rattache directement à la belle théorie des courbes polaires^ que le lecteur trouvera exposée dans l'ouvrage de M. G. Salmon intitulé : j4 Treatise on the higher plane curies, p. 57 et suivantes. Mais pour montrer ici comment la solution se déduit de cette théorie, il est nécessaire d'en rappeler en peu de mots les propositions principales.
On sait, depuis Cotes (*) , que si une transversale tourne autour d'un point fixe dans le plan d'une courbe géométrique , le centre des moyennes harmoniques des points de rencontre de la courbe par la transversale, pris relativement au point fixe, décrit une ligne droite.
Ce centre harmonique est donné , pour chaque position de la transversale , par l'équation
dans laquelle p exprime sa distance au pôle fixe O 5 pi la distance du pôle à l'un des points de rencontre de la transversale et de la courbe, et où le signe S indique qu'il faut faire la somme d'autant de termes semblables, qu'il y a d'unités dans le degré de la courbe donnée.
La droite que décrit le centre harmonique a reçu le nom de droite polaire du pôle O par rapport à la courbe.
(*) Voir t. IX, p. 2o5, q85 et 3/j4.
( 348 ) II. Par îmalo[;ie , si , au lieu de l'équation (i), on prend la suivante
^\P pJ\P pJ
le point variable dont p exprime la distance au pôle fixe O, décrit évidemment une conique qui a reçu le nom de conique polaire du point O par rapport à la courbe.
Plus généralement, on appelle courbe polaire de r ordre k d'un point fixe par rapport à une courbe géométrique, celle dont le rayon vecteur p, compté à partir de ce point pris pour origine, est donné par Téquation du 1
dans laquelle chaque terme se compose du produit de h
facteurs tels que [ j •
III. Un point fixe a donc m — i courbes polaires par rapport à une courbe géométrique du degré m. On désigne par les noms de :
Première polaire celle dont le degré est m — i ;
Deuxième polaire veWc dont le degré est m — a ;
Et ainsi de suite.
Les trois dernières courbes de celte série descendante sont la cubique polaire^ la conique polaire et la droite polaire du point fixe par rapport à la courbe.
IV. Il existe un lien remarquable entre ces différentes courbes : c'est que l'une quelconque d'entre elles est aussi l'une des courbes polaires du point fixe par rapport à toutes celles qui la précèdent dans la hiérarchie. Par «'xemple, soient X, Y, Z la droite, la conique et la cubique polaire d'un point O par rapport à une courbe du
(349) quatrième ordre U; la droite X est aussi la polaire du point O, soit par rapport à la cubique Z , soit par rapport à la conique Y, ei celle-ci est également la conique polaire du point O par rapport à la cubique Z.
V. On démontre aisément ["voir Salmon, p. 69) que les points de contact des tangentes,. menées par le pôle O à la courbe donnée U, sont situés sur la première polaire de ce point , ce qui prouve incidemment que ces tangentes sont au nombre de m (m — i), puisque la courbe est du degré m et sa première polaire du degré ni — i .
VI. Si la courbe V a un point multiple de l'ordre p^ ce point est multiple de l'ordre p — i sur la première polaire; il est multiple de l'ordre/? — 2 sur la seconde polaire, et ainsi de suite, quel que soit d'ailleurs le pôle de ces diverses polaires.
Si la courbe U n*a que deux points doubles, la première polaire est seule à passer par chacun de ces points, et elle n'y passe qu'une fois.
VII. On démontre encore (Salmon, p. 61) cette autre propriété qui va être utile pour résoudre la question 388,, savoir, que la tangente à la premièic polaire en l'un des points doubles de la courbe U est conjugiic'e harmonique de la droite qui joint ce point double au pôle, par rapport aux deux tangentes que la courbe U possède en ce point double.
VIII. U = o étant l'équation de la courbe donnée exprimée en coordonnées trilinéaires (c'est-à-dire ren-
oc Y
due homogène par la substitution des variables -> - aux
coordonnées ordinaires x,j^) , et J^i ,j)^i , Zi étant les coordonnées du pôle O, l'équation de la première polaire Z de ce pôle est
Z = X, h >! -, h 3i -7- = o. i Salmon, p. 00. )
«.r (h az
( 35o ) Celle do la seconde polaire est
dZ dZ dZ
dx dy dz
c'est-
à-dire
-Hrî
dy^
dz"
-f-a^iji
dx dy
-f- 2^1 «1 -7—7- -+- 2»,a:, -— -— = o, dy dz dz dœ
cl ainsi de suite.
IX. La solution de la fjuestion 388 découle aisément de ce qui précède. FLn effet, les m droites données a^h^ c, etc., représenlerit une coui'be du m**"»* degré douée d«
- /// (m — i) points doubles.
La première polaire Z du pôle A par rapport à cette courbe passera donc une fois par chacun des points
doubles (VI), c'est-à-dire par les -m [m — i) points
d'intersections mutuelles de ces droites. En chacun de ces points, tels que (a, &), elle aura pour tangente (n" VII) la droite conjuguée harmonique de la droite A (a, i)'par rapport aux deux tangentes que la courbe possède en ce point double et qui ne sont autre chose ici que les droites a et b elles-mêmes. Enfin si U = o est Téquation homogène en x^y, z qui représente le système des m droites (équation de degré m résoluble eu m facteurs linéaires, dont chacun se rapporte à l'une des droit'\s données), réqualioi! de celle première polaire s(M-a(\llI)
dV fiV dV
a,v dy dz
( 35i ) On aura pareillement, pour un autre point A' (j?s,j^2,Zj),
^U dV €IV
Z = Xj —- 4- j2 -7- -h Zi -7- =r O. ax dy dz
Or les [m — i) (m — 2) points de contact des tangentes' à la courbe z\ issues du point A, sont situés (V) sur la prenrière polaire W du point A par rapport à Z', cl. les (m — i) (''* — 2) points de contact des tangentes à la courbe Z, issues du point A', sont situés sur la première polaire W du point A' par rapport à Z. Donc on a (\ 111)
dZ' dTJ dZ'
W = ar, --^ \-yx— h 2i-7-- = o,
• ax dy dz
et .
.^„ dZ dZ dZ
dx dy dz
D'où l'on conclut immédiatement, en effectuant les différeniiations, cette identité :
dzdx
Ce qui démontre le dernier théorème énoncé dans la question proposée, laquelle' se trouve ainsi complètement résolue.
Quand on ne donne que trois ou quatre droites , on peut démontrer, sans le secours de l'analyse, plusieurs des propositions qui précèdent. Ainsi dans le cas des trois droites, il suffira de s'appuyer sur les n^* 372 et 658 de la Géométrie supérieure^, et, dans le cas de quatre droites , sur les n"^ 393 et 4o5 combinés avec une pro-
priélé des courbes du troisième ordre qu'on trouvera rnoiicée page 245 de ma Traduction de Maclaurin.
Mais ces développcriieuls particuliers seraient ici superflus.
Nota, Voici la démonstration du théorème important qui est cité au § V.
On prouve d'abord que la première polnire d'un point fixe O y par l'apport à une courbe donnée^ est aussi le lieu géométrique des points dont les dmites polaires passent par le point O.
En effet Téquatioii
ld\]\ /dV\ /dV\
exprime une relation entre x^ y^ ^t coordonnées d'un point quelconque de la droite polaire , et a?! , j-j , z^ coordonnées du pôle. Donc si le premier de ces deux points est fixe (Xi , j^2 9 ^2) i-t le second variable, le Heu géométrique de ce dernier sera représenté par l'équation
/^/U\ ffiV\ /dV\
qui est précisément Téquation de la première polaire du point (x2 5 JK2 5 ^2) P^'' rapport à la courbe.
Ce théorème peut encore se démontrer comme il suit : Soient O le point fixe et O' un point quelconque de la premièi'c polaire du point O^ a, i, c^.,.^ m étant les points (le rencontre delà transversale 00' et de la courbe, on a par hypothèse l'équation
cl il siifiil de nîontier (|n on a en même temps
2(ôT)-ô^.7)=*^-
Or cette seconde équation est toujours uue conséquence de la première, comme il est facile âe le voir, au moyen d'une simple vérification , en écrivant
et ainsi de suite.
On démontre, en second lieu, que la droite polaire d^un point simple d'une courba est la tangente à la courbe en ce point.
Cette proposition, qui résulte très -simplement de quelques théorèmes qu'il serait trop long de rappeler ici et qu'on trouvera dans Fouvrage de Salmon , peut se démontrer ainsi qu'il suit.
Soit O' un point quelconque de la droite polaire d'un pôle donné O. On a l'équation
