OU

00'. Où En développant , il vient celle-ci

O'a.Ob.Oc.Od. .. Om-hO' b.Oa.Oc.Od.., Om -h O'cOa.Ob.Od. . 0//i -+-...= o,

dans laquelle tous les termes , à l'exception du premier, •contiennent le facteur Oa. Donc si le point O est pris en a sur la courbe, Oa est nul et l'équation se réduit à son premier terme

(i) O'O.O^.Oc. . . 0/7î = o.

Or le point a n'étant pas un point multiple de la courbe <lonnée, les lignes Oi, Oc,..., Om ne sont pas nulles en

Ann. de Mathémat,, t. XVI. (Septembre 1857.) î^3

{ 354 ) général; donc ou a simplement

ce qui signifie que , pour toutes les directions de la transversale 00', la droite polaire du point O de la courbe passe par ce point lui-même. Mais si l'on prend pour cette transversale la tangente même de la courbe, Ob est nul et l'équation (i) est satisfaite d'elle-même, quelle que soit la valeur de OO', ce qui signifie que tous les points delà transversale, actuellement tangente à la courbe, appartiennent à la droite polaire du point de contact, ou, en d'autres termes, que cette tangente est la droite polaire elle-même. c. q. f. d.

De ce tliéorème et du précédent on conclut immédiatement c[ue les points de contact des tangentes issues d^un point donné sont sur la première courbe polaire de ce plan. C'est précisément ce qu'il fallait prouver.