FORMULES D INTERPOLATION DE LA6RANGE ET DE NEWTN
(Fio d*Dn premier article)
(voir page 317).
On peut de la formule d'interpolation de Lagrange déduire celle de Newton , en supposant que les Dombres j;,, ^1 v» ^m-i î ^m soient les termes de la progression arithmétique Xq , j^o -f- A , . . . 5 Xo(m — i)h^ x^-h nih.
Reprenons la première de ces Formules qui est
«' ■ Il II II I I » ip I p »»i»-i 1 1 11 ■■ ■
I I I -«■■ ' Il I i|i Il I — »«*»^i III 11 » Ut ~~y — • ■ •
(X| X^) \X\ — ^j ) . • »\^\ ""• -^fli— I ) ("^1 "~" •^fflij
.„. ] , («y — ^o) (j:^ — x^.,,{x — irp.,) {x — Xp^x),,Jx — x,^Cj (j? — jj^
[Xp — XQfj\Xp — J7,j...^Jîy3— -f-p—ij \Xp'—- Xp^yj,.,\Xp J7fl,|j \Xp Xmj
(X-^ .T^){X Xt). . .(.V — X„^^) (x X„)
[X'^X^){X — X,) . .{x — Xnt^){x^X^__,) ^ "
Si Ton remplace Xi, arg,..., a:,„ par a^o-H A, x^-^ ai,..., J^o "•" '''''^^ '^ dernier terme de cette formule devient
(x — Xt) (x^— x^ — h), . .[x — x\ — {m — a) h'\[x — x^ — (wi — i)h]
" ' I - I - I. ■ . I - Uf
mh .[m — i) A . . . ih.h ou 5 ce qui revient au même ,
(x — xXfx—x^ \ Fx — .r, "ira: — A'o "l
, .1. I ■ I . ■ ■ ■- Hf
( 359) L'avanl-dernier terme prendra la forra«
{x — Xo) {x — .r„ — h) . . [.r — a*,, — (m — 2 h] (x — x^ — m h) [m — i)h.{m — 2) h, . .h X (— /^
et pourra s écrire ainsi
v5 •■•^ ^^tk \ / vC " "" iX *
et, afin que le dénominateur soit encore ie produit ^At (m— ^i)... 3.2.1, on mullipliera par mies deux termes de L'expression précédente , ce qui donnera
)...rî^ („,-.;
X ' Xb
mu
OJ — l •
On trouvera de même que les termes précédant Favaiitdernier de la formule (3) deviennent respectivement
X ^"^ Xn
A [X OTo \ Vx-^x^ C\ (^ -^0 \
fx — XoX/X'—Xo \ fx — Xa ,1/x— Xo \
m (m TT- 1), . .6,2.1
( 36o ) (]onsidérons généralement le terme
(x •— J?o) {x — - J'.',)...(u; — .r^.^,) (x — j:^+,)...(jg — .Tm-i) ( J? — «gn) [Xp'— Xqj \Xp — .r , j . . . [.Tp — Xp^j [Xp — Xp^\), . . \Xp'—' x^ — i] ^J?p— Xgij
dans lequel le nombre p est supposé moindre que m. En remplaçant dans ce terme 0^1, J^s ,.••? ^p-i ? ^pi ^H-»'***' ■3^m-i, ^,„ p«r j:o-+-A, 0:0 + 2A,..., [Xo-h (/^ — i)*]»
(:C8-hy:?/i) ? [xo-4- (/^H-i) A],.--5 [^0-1*- ('" — ') *]ï (r^ -4- /«A) , on a d'abord
(t --x^Xx —x^'^h)...lse — x^-^ {p -^})h][x-^x^— (p-^j)h]...[x ^x^—{m — i)h]{x - x^-À ph.{p—i) h...k.{^h)x—[lm — i) —p]h x,— {m — p)h 1
Puis
pAp-'\)...\.{- i)...x-L(m-i) — ;?]X— C"'— ^)
ou bien encore
p.{p-i). . . 1 X I . . [{rn—i) ~^p]{m—p)
et enfin
m. {tv — i). , li.Q. I
Il faut mettre le signe -}- ou le signe — suivant que m — p est patr ou impair.
Ainsi, lorsque les valeurs substituées à la variable jc sont^Q, Xq -h //, Xq + ih ,..., Xfi-\-[m — i)//, OTo+m/i. on peut donner à la formule d'interpolation de Lagrange
la forme suivants :
m [m — i). . .3.2. 1 Ix^xA Vx'—x^ I/o:
\-irr\— — ('«-^)H-
WK/n-i
zf.)...[^(^.)][^'(,^0]
X J?fl
Up-^, . .
m (m — i), , ,(m — p-hi)
fx — xA/x — Xo \ fx — Xo \
[-ir)[— — ^)-[-k-~'")
(^ — ^0 \ fx — Xo \
mu,
Pour en déduire la formule d'interpolation de Newton, il faut remplacer 1/^ , M,„i , m„,jv--5 "i P^^" ^^^ développements
m (m — 1 ) , «0 -V- /w A Wo H ^ ■ — ■ A' Wft + . . . + A'" Wo j
«f H-('W — i) AWo -+-
Uo 4- (m — 2) A«o -h ' ^-^- -^ A'tto
A' Ko 4-
. .-t- A^-'Wo
«27 •""" Xn
Afin d'abréger Técriture, posons z = — ^"^"^ '^- ^ en
( 36-2 ) j'ésullera
Xq
El en rcprésejitaiilpary (z) le produit des (m -H i) facteurs consécutifs z , (r -h i) , |(z -}- 2) ,...5 (z-h//i), la formule (4) se transformera en celle-ci
''/n ; — • *««„,, H — — • tt»-ï— •
^ ^ m[m — i)...3.2.i I z-j-Tw — p 1.2.../? '^
qz —^ • mUx ZH — —^ Mo»
Si l'on remplace dans la formule (6) w,n , "m-i ? «m-i vî i/j par les développements (5) , le résultat de la substitution sera évidemment une expression de la forme
«0 "o -+- ^1 ^ "0 H- ^2 ^' "0 -+* • • • -I- ^z» ^^ "0 4- . . . + û« A*ao »
et on aura d'abord
ZH-/7I — I z-h/?i
Mais on a vu (page Siy) que •
z-f-zw — I z-t-w'
( 363 ) donc
Il viendra ensuite
Oi
d'où
' [m — i). . .2.3 ^1 a • 's-hi 1.2 Z + 2
OU bien, en représentant par (f[z) le produit des m facteurs consécutifs z, z-f-i,..,, z + m — I, et en ayant égard à ce que
/(z) = (p(z)x(34-/7ï), on aura
Or (page 317)
