m D'ailleurs
par conséquent l'expression
«0 '«0 -h ^1 ^ «0 -h ^a A' f/„ H- . . . -f- ^OT A*" Wy
( 366 ) revient à
OC r\ [ X — Xq \ [x — 070 \
Vx — x, 1 A^a.
■Ce qui est la formule d'interpolation de Newton.
SUR VNE QUESTION D'ALGÈBRE RELATIVE A DEUX EQUATIONS DU QUATRIÈME DEGRÉ
(voir r. XV, p. 76);
Par m. Michael ROBERTS.
Etant données deux équations biquadratiques , savoir
(I) ax^ -h 4 bx^ -\- ^ cx'^ -\- ^dx -\' e =: o ( racines a, p, 7 , ^),
(II) a'.r*+ 4i>VH- 6cV4- 4c?'.r-f- e'= o (racines a',p',7',^'),
je vais présenter dans ce qui suit les éléments de la formation de Téquation ayant pour racines les valeurs que prend la fonction
aa'+ pp'-i- 77'-H^,î'.
Il est facile de voir que cette fonction a vingt-quatre valeurs, et l'équation dont il s'agit est assez compliquée : mais en faisant usage des solutions algébriques des équations données, j'ai réussi à la mettre sous une forme simple, qui se prête facilement aux divers résultats. Je dois mentionner surtout que j'ai été ainsi conduit par une
(367) marche très-simple à T équation au carré des différences des racines de Téquation (I) : résultat que je ne me souviens d'avoir rencontré dans aucun traité d'algèbre. Posons d'abord
i^a^yL z= ae — ^bd -^ 3c% S^n = ace + 2 bcd — or/' — cb"^ — c^ ,
et désignons par les mêmes lettres accentuées les quantités analogues pour l'équation (II).
Faisons maintenant
z = aa' 4- PP' 4- 77' + ^^'
et introduisons la quantité auxiliaire u donnée par l'équation
^bb'
1/ ^bb' 4 \ cta
et posons
w* — 6 CTBi' a' — 2 u
— 3 (3ct»ct" — 4oV — 4w'^pi— 2pp ) =r P,
6f*2— .3 2wci' 7 •+-■'— 7 — i-- =Q»
6a»— 3(2crci' 7-^-^-7 H "^^ —1^»
et l'équation cherchée s'écrit de la manière suivante
ce qui donne
( III ) P^' = Q' Im' ^ R3 /' //i -H 3 pifii' PQR.
Or cette équation monte au douzième degré et ne contient que la seule expression irrationnelle
d^où, en élevant au carré, nous passons à 1 équation cherchée
Pour trouver F équation au carré des différences des racines de Téquation (I), il suffît de poser dans Féquatîon (H)
fl' = 6, *' = o, i:'= — 1, ^' = o, *' = o(*), et , en substituant ces valeurs , nous trouvons
et l'équation (III) donne (en posant aa' =;;= 6)
ou bien
+ 3 (e' -H 2 oo -I- - ft j Le» £ xô + -^ ^A ,
et, en posant les quantités
(*) 5' devient alors G (« — a' )'. Tm.
(369) seront les racines de Téquation suivante en < : "
/« — 4^0/* + 96^ (^-hSu') — 256/3(i6sT>-+-24pnrH- i3\)
io8.8*(fA* — V) = o.
Si les équations données sont identiques , l'équation (III) appartient à deux équations distinctes.
On peut remarquer la relation suivante, qu'on peut démontrer directement :
4fl«(CT» — 2> — 3c3fA)= {«*£/— 3abc-^^b^)\
SGGONK mmm n U «URSTION 389 (LiGRANfil) RT ntlNIÈRE BB LA QUESTION 290
(voir page 196);
Par m. le Docteur SAGCHI>
De runiversîté de Pavie.
Si l'on représente par A^*"^ le coefficient de A' dans le développement de (i-t-A)'", on aura
ri) i
si Ton multiplie chaque membre de cette équation par I -H Ar, et si l'on observe qup le coefficient ^T*"*^ est égal a Air2|-h A^'^^, on voit facilement que
ilirn. de Maihémat,, t. X\I. (Octobre iSS;.) ^4
(37o) pourvu que Ton fassç toujours
Posons
A.= i, Ai-; = o, a;;^,=o.
^ = /i = r, et en observant que
on obtient
c^est-à-dire que la somme des carr^ des ooefficients de la puissance r du binôme est ^sje au coeSicient moyen de la puissance 2r du même.
Il est à remarquer que la quantité A^***^ multipliée par
^ï ou bien par na**, donne, dans le premier cas, la
somme
cos''"a -f cos"^ (a — - ) + ces"" (a — 2 - ) -f- . . .
quels que soient a et w, r entiers positifs 5 et dans le deuxième cas, la somme des puissances r des perpendiculaires abaissées d'un point de la circonférence de rayon 2 a sur les côtés du polygone régulier circonscrit. En carrant l'équation connue
et en désignant pas S la somme des produits deux à deux
( 371 ) des coefficients Ao, Ai,..;, on a
d'où
laquelle fournit la ^aluiiqn de la question 290, proposée dans ce journal, page 192, tome XlII.
On peut arriver plus simplement à l'équation (2) de la manière suivante : que l'on multiplie l'équation (i) avec celle que l'on obtient en .plaçant dans la même jéqua-
tion - au lieu de /c , et l'on aura
où P est un palyâôme contenant h dans tous les ternes; par conséquent, lâ^mme ohercbée sera m terme eu ]^« mier mefiibre ou k n'entre pas, ou bien sera le GOe$cfent de A" dans le déveloj^ment de (i H- *)'*'*, 43'est*à-dîtD
sera AJ^*''^ comme oii l'a trouvé ci-dessus.
(voîr p. 178);
Par m. Louis BOYEft, Lieutenant d'artillerie.
Un triangle ayant pour sommets les doux foyers d'une conique et le troisième sommet sur la circonférence de la conique, trouver les lieux géométriques des trois points suivants : ïe centre du cercle circonscrit, Te centre c(e gra-
vile, le point de rencontre des trois hauteurs ^ et déterminer le degré de l'enveloppe de la droite qui joint ces trois points.
Soient O le centre de la conique pris pour origine des coordonnées et ayant deux foyers F et F', M le sommet d'un des triangles , ûî et jS ses coordonnées.
Le premier lieu géométrique est Taxe des j", le centre du cercle circonscrit étant toujours sur cet axe.
Le second lieu est le lieu des points
donc Téquation de ce lieu est
gAj'-h 9Bar»=:C,
étant Péquation de la conique : c'est donc une conique semblable à la première , ces deux coniques ayant pour centre de similitude Torigine des coordonnées.
Le point de rencontre des hauteurs est donné par les équations des droites MP perpendiculaire à FF' et F'K perpendiculaire à MF. Ces équations sont
dou
L'équation du lieu sera donc
, A(c' — arM^ -^ c — Ba:»
1°. Ellipse,
équation de deux courbes symétriques ayant leurs som-
mets sur Taxe des y aux points y = ±: t9 passant toutes
deux par les foyers et ayant toutes deux pour asymptotes les droites a: = ± n .
2®. Hyperbole,
équation représentant un système de deux lignes hyperboliques ayant chacune une branche imaginaire et pour équations
La première ligue hyperbolique
a (c^ — xM
b yx^ — a^
q pour asymptotes les droites
j?=:«, y = ^jx
(perpendiculaire à Tune des asymptotes de l'hyperbole donnée), passe par le foyer F, et se trouve alors située au* dessous de l'axe des x, pour les valeurs de x comprises entre û et c, y est positif. L'autre branche est imagi* naire.
La deuxième ligne hyperbolique a pour asymptotes les droites
T= — fl, y = jx,
passe par le foyer F'', se trouve au-dessous de Taxe des x pour les valeurs de x comprises entre — a et — c , et audessus pour toules les autres valeurs. L'autre branche est imaginaire.
Recherche de Venveloppe. Elle est représentée par
le» trois équations suivantes, Vëquatioii de la droite, M
d^riv^ de cette équation et ji'équation de rf^aubo çntrea
et |3 ; ces équations simplifiées prennent la Jibrine siii?4aite ;
( I ) [^ aj -+. (or - a) p ] = (a» - c* )•( « — 3>) , *
( 2jr(Ap«-Ba«)-|-2xàp(3A— B) ^^^ (=[Ap'-+-(3A — 2B)a» — Ac»]p,
(3) C — Ba» = Ap^- : '^
Multipliant (i) et (3) membre à membre, on obtient
^^^ P A(a» — c')(a— 3x)-(C— Ba^)(x — a)
Remplaçant A (3* par sa valeur dans l'équàtian (a), on a aussi
(5) 6 = ^jrjO^'^T^a^)
^ ^ ^ 3(A — B)a' — 2(3A — B)a;a4-C— Ac»
En égalant les valeurs (4) et (5) de |3 et remplaçant ^ par sa valeur (4) dans l'équation (3) , on a les deux équations suivantes enlre a , x^yi
^ I B(A — S)a^-^ [ABc»— (2A — B)C]a^
^ ' f — [6ABc» — C(3A-hB)]j:a»-4-C(3Ac' — C)a: = o,
^^^ j = (C— Ba»)[3(A — B)a2— 2(3A — B)^aH-C— Af'p. D'où l'on déduit les deux équation»
, . ^ (C — B a')[3 (A — B) g^ -> 2 (3 A ~ B)^ g -4- C— A c^Y *^^ -^ "" 4A(C— 2Ba'')^
Chaque valeur de a donnera une valeur pour x et deux valeurs égales el de signe contraire pour j^^ la courbe est
(375) donc de degré pair et symétrique relativement à l'axe des X, De plus , j)our que x ait une valeur déterminée , a nous sera donné par une équation du cinquièiûe degré, aura donc cinq valeurs : de sorte que pour une valeur de ar, y pourra donc avoir dix valeurs différentes. Mais si l'on remplace x par sa valeur (8) dans Féquation (9) , on verra qu'une valeur positive ou négative de y pourra être donnée par quatorze valeurs de a , car alors l'équation (9) sera du quatorzième degré en a. Donc pour quatorze valeurs de a , et de x par conséquent , y pourra avoir deux valeurs égales et de signe contraire, ce qui peut faire vingt-huit valeurs différentes : l'équation de l'enveloppe peut donc être considérée comme étant du vingt-huitième degré.
(voir p. 869);
Par m. J. DE VmiEU>
Régent à Saumur.
Soient m, w, p, ^, r des nombres entiers positifs non nuls*, si, [/ri] représentant le produit des nombres entiers différents qui ne dépassent pas m^ on convient de remplacer le symbole [o] par i et ^ = par zéro, on a
i et o étant fonctions de a:, on a
dP{up) __ 'Y [/^] d^ dP-'a
[/][/? — /] rtV dxP-'
(3,6) Powns
l'égalil^ (a), en divisant les membres pat* x''*'"'', iv- TÎent
[y + ^] v^ [/-] 1^1 tvl
[î + r-;>]-^ {/][/»- -l'ir-/] [q-p-hr]
on bien
[? + rl '^'' [r] [g]
on supposant égaux les nombres p, q, r
COMPOSITIONS POUR L'fiCOLE POLYTHCimieUE KN I8S1.
SulilioD d'ut tfiitiei triisceidulei
Par m. J.-Ch. DDPAIN, ProfMseur i Carcaisonne.
j = A sin.r + B.
Celte (.'qualion a pour racines les abscisses des intersections de la ligne droite (i) Ar = *-B
et de la sinusoïde (*) r = sm^.
On dessinera une fois pour toutes la ligne (a) qui est bien eonnue, it quand les coefficients A , R seront donnés,
( 377 ) on tracera la droite (i) ; les interseckions sont en général nettement indiquées, et si elles ne Tétaient pas pour deux points voisins , on construirait sur une échelle plus grande Tare de courbe qui contient ces points. Ayant ainsi obtenu une première valeur de chaque racine , on appliquera les méthodes connues d'approximation.
Discussion, Nous laissons de côté le cas tout excep-
tionnel oùA = oo,B = oo,~= — ol\ l'équation se réduit alors à
sinx — a = o.
En appelant x' le plus petit arc positif dont le sinus est a , les solutions en nombre infini sont comprises dans les formules
Nous laissons encore de colé Thypothèse A = o que donnerait x = B.
Si A était négatif, nous poserions
Téquation proposée devient
X =z A! sin x' -h B',
de sorte que nous n^avons à considérer que des valeurs
finies et positives de A.
Premier cas, A <^ i . Le coefficient angulaire de la
droite (i) est plus grand que i -, il n'y a qu'une racine.
Je pose
B = A" TT -h a ;
h étant un nombre entier positif ou négatif, o^ étant compris entre o et tt , et
Y [x)-=:x — Asin.r — B.
En substituant Att et (A-f-i)?: dans F(j:)5 on trouve des résultats de signes contraires-, Tunique racine est
( 378 ) donc comprise ainat que B entre /?^ et (A -+• i) sr. fi sera une première valeur approchée. Qn appliquera «ftsiûiek méthode de Newton ou celle des approximations inecesslves qui réussit ici : > j
jp, =:t AsinE-HB, ^
Si Votï porte là valeur de Xi dans x%^ on ifciare
T, = Asin(AsinB4-B) -f-B. ^
On développe le sinus et on introduit sin (A sinB) eX cos (AsinB) que l'on t*emplace par les premiers termes de leur valeur en séries , réductions iaites , en négligeant les puissances de A supérieures à la seconde on obtient
x= B -h AsinB 4"* A»«iD*B.
Voyez d'ailleurs V Algèbre de M, Ber trapd , a*^ édition, page 4o4 et la Mécanique dé M. Duhamel, a* édition, tome II, page 66.
Deuxième cas. A == i . Si de plus B = Att, il y a une racine triple a: = B.
En général, il y a une racine unique comprise entre B — I et B -h I ,
Troisième cas. A ^ i . x est compris entre A H- B et — A -f- B 5 des considérations géométriques simples mon^ trent que :
1^. Le nombre de racines est impair \
2°. La courbe (2) est formée de parties qui se reproduisent et que j'appelle arcs périodiques /
3°. Chaque arc périodique complet ne peut renfermer que deux intersections situées sur le même demi-axe, lorsque la droite (i) ne coupe pas Taxe des jc entre li*s extrémités de l'arc périodique;
4*^. L'arc périodique complet entre les extrémités duquel la droite (i) coupe Taxe des x renferme trois intersections ;
5^. Si dans chaque demi-axe périodique contenant
deux intersections on mène un tangente parallèle à la
droite (i), le point de contact dont Tabscisse satisfait à
Téquation
A cosîr = I
sépare les deux intersections.
Les racines seront donc facilement séparées et comptées.
Dans le cas particulier où B = A tt , Tune des racines est B^ les autre», prises deux à deux, ont B pour moyenne arithmétique.
i Application numérique.
j: = 3 , 1 4^ sin X -f- 1 , 57 .
On petit encore écrire
X = TT sin X H — •
Il y aune racine positivé comprise - et tt, une racine
négative égale à et une autre racine négative comprise
entre o et l'arc qui a pour cosinus o,3i83, c'est-à-dire
La construction graphique montre que la racine positive est environ 2,7 ou en degiés 157^*.
Les deux racines négatives ont sensiblement pour moyenne arithmétique l'abscisse du point de contact dela tangente qui le$ sépare ou 71^ 27 ^ L'une des racines* étant 90 degrés, Vautre sera sensiblement 5 2^ 54^.
Il reste à traduire ces arcs en nombre, à appliquer la* méthode de NewM>n et à vérifier le résultat, opérations^ faciles sur lesquelles nous n'insistons pas*
SOLUTION DS LA t)llBSTllN 390
P»E M. GnsTAvi HICBAUX, a du l^cée Cbarlem*sne(cIiMedell. Ihiuclié).
Soit AEFD un rectangle; de F ou abaisse une perpradicalaire FG sur la diagonale DE ; par G on mène une parallèle au côté EF renconlranl le c6lé AE en C et une [larallèle GB au côté DF rencontranl AD en B. Faisons
EF = m,
BG=r
