EG = EG

h^=bed, d' = b'-hc', d* — b'^^=3/g.

(H. MoifTucci, professeur au lycée Saint-Louis.)

Il est d'abord facile de voir que les divers triangles de

la figure sont tous semblables. En effet les deux triangles

DFG, EFG sont déjà semblables au triangle DFE, puisque la ligne FG = h est une perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle sur l'hj' poténuse. D'un autre côté > le triangle GCE est aussi semblable au triangle DEA, et par suite à son ^al DFE, car GC est parallèle à DA : de même le triangle DGB esi semblable au triangle DFA, à cause du parallélisme des droites GB, EA. On voit en outre quêtons ces triangles sont rectangles.

( 38. ) Cela posé, il est aisé de démontrer les trois relations en question.

fo. h^ = hcd.

Le triangle DFE donne la relation connue

On en déduit , en multipliant les deux membres par h , Or les triangles semblables GEC , DEA donnent

d'où

et , en remplaçant ,

bd

hJ'

Enfin, de la similitude des triangles DBG, FGE résulte

l'égalité

d OÙ.

La relation

se réduit ainsi à

h^ = bcd.

L'égalité

( 38a ) établie précédemment, donne

d'où

De la similitude des triangles GEC, GEF résulte aussi l'égalité

d'où

g^ =2 mb.

Remplaçant g* par cette valeur dans l'expression de a', il vient

On aurait de même , à cause de la similitude des triangles DBG,DEA,

d'où

, nf . /î'/»

rf = -:i et rf' = -^

ou bien , à cause de la relation

(qui résulte de la similitude des triangles DBG , DFG) ,

Donc

( 383 ) d'où, en extrayant la racine cubique d^s deux membres,

et enfin , en élevant au carré les deux membres ,

»»' ri^

ZiTL 3/

On déduit de là

de sorte que le binôme peut s'écrire sous la forme '

•3/t: . n^ iiTz m'

ou

3/-r, / «* \ 3/T- lm^-\-n'\ ,.— rf*

car

fl?* = m* 4- «'.

Mais

donc

3/t: ^ 3/Ti /w^ 3/7- w ^Ihm^ ^Im^ ii-r,

Donc enfin

ou bien

3°. rf' — i' — c' = i/g.

On a , d'après le théorème de Py tbagore, les trois équations

rf" = BI* -t- n',

6' = ff- - ( « - r )' = s' - ( «' + c' - :» »,c ) .

Retranchant membre à membre les deux deroières équations de la première, il vient '

ep — i' — c' = (w' + n' — ^' 4- «' + *'— a ne — /' -+- m' H- i' — î mi ; d'ailleurs

donc

ou , en remplaçau t ,

iP— ft'— c'= 2m'+ a/i'— il^+ n/g + 6' + c' — îrte — nnb, ce qui donne, toutes réduclions faites,

rfi 6' — c' = m' + n' — m6 — ne -h/g. Mais nous avons vn plus haut que

donc

m'-mb = ^^-g' = h', «^ - ne = n> -/' = /,',

E A' ^Jg, il vient enfîn

SOLUTION DE U OOESTION 319

(TOir tome XV, page St);

Par m. p. GHALLIOT,

Élève au lycée de Versailles (classe de M. Yannson).

Deux plans P et P' coupent une surface suivant deux courbes I et I' ; la projection de la courbe I sur le plan P'

sera tangente à la courbe V au point où la trace do P sur P' pourra couper I', si les coordonnées de ces points satisfont à l'équation

déduite de l'équation

F(^, jr, 3) = o

de la surface par rapport à trois axes rectangulaires dont deux, ceux sur lesquels on compte les x et les j^, doivent

être dirigés dans le plan P^ La condition

nécessaire et suffisante pour que le contact dont il s'agit ait lieu , est remplie pour les surfaces du deuxième ordre quand P' est un plan principal. ( Dieu. )

Ann, de Mathémat., t. XVI. (Octobre 1857.) 25

Soit

Téquation de la surface.

Je prends le plan P' pour plan des x^y.

L'équation de la cdurbe I^ s'obtiendra en faisant z = o dans l'équation de la surface

Soient x\y\ o les coordonnées d'un des points m, où la trace xy du plan P sur le plan P' coupe la courbe T. Le coefficient angulaire de la tangente à la courbe F au point m sera .

Soit

z = mx -^ njr -^ p

l'équation du plan P. L'équation de la projection de la courbe I sur le plan P' s'obtiendra par l'élimination de z entre les deux équations '

F(^,j,2) = o, z = nix -h njr -+- p .

Pour avoir le coefficient angulaire de la tangente à cette projection au point m, appliquons le tbéorème des fonctions implicites, on aura

^ f:(x',/) + »/f;(x,j',o) "- ¥[.{x',y)-^-nr{x',y,o)

Comme par hypothèse

il s'ensuit que a = a'. Les deux tangeutes ayant un poiut commun et même coefficient angulaire , coïncident.

(387 ) Je dis en second lieu ({ue la condition

est remplie pour les surfaces du deuxième ordre quand P' est un plan principal.

Je rapporte la surface à ce plan et à une droite qui lui soit fierpcudiculaii'e. L'équation ne devra pas contenir de termes en z , première puissance. Elle sera de Ja forme

Aj^ + A'^'-^- A'ï'-h 2B3y-+ îC-K-l-aC'j' 4-F = o. Prenant la dérivée par rapport à z , j'aurai

et comme le point de c< des X, j, on a

donc

nlact en questio

s le plan

Le théorème précédent peut se vérifier géométriquement pour les surfaces du second ordre.

Si par les différents points de la section principale P' mm' , on mène des parallèles à l'axe des z, «es droites

seront perpendiculaires au plan F'. Toutes ces parallèles

forment une surface cylindrique tangente à la surface du deuxième ordre. Si par la génératrice mq on fait passer un plan tangent à la surface cylindrique , il le sera en même temps à la surface proposée. Ce plan coupe le plan P' suivant une tangente mt' à la courbe I', et le plan P suivant mt tangente à I. Or la projection de cette dernière tangente est tangente à la projection de I, et comme m/ e$t dans un plan ^mt' perpendiculaire au plan P', elle se projette suivant la trace mV.

T0P06RAPHIB.