DÉTERMINATION DUN POINT PAR TROIS ADTRBS POINTS CONNUS

Par m. poudra.

/il I ^J^

/II, .cy

II','

• \ I I 1 1 V^ \ I If /

V ^ • '-" ». * lA/

Ce problème dit de Pothenot se résout ordinairement par la construction de trois segments de cercle capables des angles observés. Cette solution n^est pas facile à employer sur le terrain, les circonférences à décrire sont trop grandes. Voicî une construction qui me semble plus commode.

La planchette ayant été placée horizontalement, on roriente à peu près, et on vise avec Talidade les trois points connus A, B, C: on obtient trois droites A,ha^ Hbc^ Cca, Si Torientation de la planchette était exacte, ces trois droites se couperaient eu un seul et même point D qui serait le point cherché. Dans le cas contraire, on obtient un petit triangle d'erreur aéc •, on change alors un peu l'orientation de la planchette , et, par le même procédé, on obtient alors un autre petit triangle a' Vc\

Si l'on décrivait sur AB comme corde un segment capable de l'angle A& B, il passerait par b et h'. Le segment sur CB, capable de l'angle BcC, passerait par c et c^ Enfin le segment décrit sur AC , capable de l'angle

ÂaC, passerait par a et a\ Ces trois segments se couperaient en un seul et même point D qui serait le point cherché^ mais il résulte évidemment de cette construction que non-seulement les petits triangles abc^ ciV d sont semblables, mais que les triangles Da£, Dac, Hbc sont respectivement semblables aux triangles H a' b\ Da'c\ Di'c'. D'où résulte que le quadrilatère Dabc est semblable au quadrilatère Da'6'c', et comme les trois points a, &, c du premier sont déterminés de position, ainsi que les points a ', i', c' du second, il en résulte que le point D commun est déterminé.

Pour l'obtenir, on élève à Aa une perpendiculaire ap égale à un nombre quelconque de fois ab. De même en a' on élève à A a' la perpendiculaire a^p' égale au même nombre de fois a' i' , puis par p on mène une parallèle pq à Aa et par p' une parallèle p^{f à A'a. Ces deux droites se coupent en un point y, et la droite A g doit contenir le point D cherché. On trouverait de même des droites BD et CD passant par ce même point D. Donc il est déterminé.

(390) QUESTIONS

396. Par le sommet A d'un triangle plan ABC, menrr une droite telle, que les perpendiculaires RB', CC abaissées respectivement des sommets B et C sur cette droite, forment deux triangles rectangles ABB', ACC équivalents.

397. Discuter la courbe du quatrième degré donm'e par l'Àjuation

X~<Jlii+ yJnx — .T:'.

(MOKTICCI.) Iî9t*. Soient donnés un tétraèdre quelconque abcdei dans son intérieur un point o tel, que les droites oa. oh , oc déterminent un angle irircctangle ; je prolonj^e les droites oa, ob, oc, od jusqu'en n', b', c\ tt', où dles coupent les faces opposées au\ points a, b , c, d. On a

(Mannheim.) (*)

C) Voici la rectiiicalion d'un énoncé qui n'a pas été eiaetement il

enférrier i85e.

( 39» ) 399* Les données restant les mêmes, je mène par le point o des plans parallèles aux faces du tétraèdre, ces plans déterminent dans chaque angle trièdre des parallélipipèdes dont je désigne les volumes par P« , P^ , P^ , Pj. On a

oaY (oby focY (od\^

(MAlfNHEIM.)

4flO. Soit u une fonction rationnelle et entière du degré n d'un nombre quelconque de variables ,r ,y, z^ ^stc, et soient du^ d*u,,,.^ d^u les différentielles successives qu'on obtient, mais en supposant que dxy dy^ dz^ etc., sont constantes {*). Formons Féquation

-4-/2. w — 1 n — 2.. .2 tdu

Formons une fonction symétrique quelconque rationnelle et entière des différences des racines de cette équation •, sa valeur est une fonction entière des coefficients d" m, /i"' * w, rf""*!/,..., duy M, et par conséquent une fonction de x^ y^ >&,..., dx^ dy^ dz'^ si l'on différentie cette dernière fonction en traitant dx , dy^ dz^...^ comme des constantes , on trouve un résultat identiquement nul.

(MiCHAEL ROBERTS.)

Note du Rédacteur,

Exemple. Soit

u = ax^ -h by"^ -}- cs%

du = 2 [ axdx -h bydy 4- czdz ) , d^ u z=i 2. {fi-dx"* 4- bdf'^ -+- cdz^),

(*) Alors du renferme dr, dj,dZfd'^u renferme dx*, dydx, dj*j etc., et d"^' =0.

( 390 l'équation en t est

Choisissons pour fouctiou symétrique la somme «jt^ carrés des différences des racines -, cette somme est

^ r ab{xdj- — j'dx') ■+- ac (jcdx — zdx)' 1

~~'*'l+i„[yd>-^fy r

différentïant cette valeur en r^ardaoc dXy efy, dz comme eonstants, le résultat est identiquement nul.