br
On en tire successivement :
2'-' — I = — ^^ (^-' -f- br-''-\-, ..-f- ^4- 1).
Cette dernière équation montre que
doit être un nombre impair. Et comme le nombre dci^
( 393 ) termes de
est y et qu'en outre le nombre premier b est impair, il faut que y soit aussi un nombre impair. Il en résulte que b^ -H I est exactement divisible par b -\- \\ mais
donc 'X' est divisible par 6 -f- 1 , ce qui exige que A -f- 1 soit une puissance de 2 , c'est-à-dire que le nombre premier b ait la forme 2" — .t .
En divisant par i -h 1 les deux membres de l'équation proposée
elle se transforme en celle-ci :
Ar-» — &r-î 4. ^-3 . 4, ^2 -» ^ 4. ,
Or /V""* — 6'~* -{- i-^"'^ -t-...-h fe* — è -h I est nécessairement un nombre impair, puisque b eiy sont impairs ; donc il faut qu'on ait
d'où
.r = 77, et, par suite,
De ce qui précède , nous concluons que l'équation proposée
n'a aucune solution entière si le nombre premier b n'.i pas la forme 2" — i , et que si b a cette forme, l'équation admet une solution entière et une seule qui est
(396) 12". «^2. L'équatiou
rt* — &r = I donne
mais a^ — i est un nombre pair \ donc
D''ailleurs &-^ est exactement divisible par a — i ; par conséquent (a — i) est une puissance de a, c'est-à-dire que le nombre premier a doit avoir la forme 2" + 1 . Ces deux conditions étant supposées remplies , l'équation proposée devient
elle est vérifiée par
il reste à examiner si elle peut avoir d'autres solutions entières.
Supposons que Téquation
ou
puisse admettre une solution entière dans laquelle on ait 0:^1, la valeur correspondante Aq y sera évidemment plus grande que n , et en divisant par (2" -f- 1) — i les deux membres de
il eu résultera cette nouvelle équation
dont le second membre sera un nombre pair. Il en sera
( 397 ) de même du premier, et il faudra que x soit aussi uu nombre pair. Dans ce cas, (an -f- i)* — i est exactement aivisjble par (a" -H i) + i ou a (a""* + i). Donc a"~*+i devra diviser a-^, ce qui en traîne la condition n = i. En supposant qu'elle soit remplie, Féquation proposée devient
3* — I = a^ ou 2^ -4- 1 =r 3*.
On voit que y doit être impair, puisque a-^ -+- 1 admet le diviseur 3 ou a -h i . En effectuant la division des deux membres par a + i » on a
ar-* — ar-» -f- ar-» — àr-< + . . . -|- a» — a -h i = 3'-', d'où
(ar-'— i)— (2r-'4- 1)4. (ar-a ,)__.+ ^a» — 1)
Mais les différences
. (ar-'-i), (ar-»-Hi), (2/-^~i),...
sont des multiples de 3, donc y est multiple de 3-, et comme x est pair, on pourra poser
il s'ensuivra
3^*' — c = a»r' ou 9'' — i = 8r'.
Celte dernière équation n'admet que la solution entière
En effet, xf ne peut être un nombre pair, puisque 8^^'
(*) En général , dans Téquation
(a-Hi)* — «r = 1,
Vinconnue x ne peut admettre pour valeur entière , différente de l'unité, qu'un multiple de a , et toute valeur entière de r plus grande que Tunitc est nécessairement multiple de a + 1 ,
{ 398 ) n'est pas divisible par 9 4- 1 ou io. Il est de même impossible que od soit un nombre impair plus grand que Tunité. Cat*, si c»ela était, y' sera aussi plus grand que rùnité, et en divisant par 8 les deux membres de 9"^ — 1 = 8^', on aurait
égalité qui exprime qu'un nombre impair
est un multiple de 8. Donc la seule valeur entière que x' puisse avoir est
d OÙ
Au résumé, lorsque le nombre premier a est plus grand que 2 , il faut pour que Téquation
ait une solution entière , que A = 2, et qu'en outre a soit de la forme 2" -f- i . Quand ces deux conditions sont remplies, Téqualion admettra la solution entière
ot elle n'en aura pas d'autre si n est différent de l'unité. Mais si n = 1 5 l'équation admettra les deux solutions
aî' = i, / = I et x = 2, j' = 3.
FORMULE D'ABEL (Fio d'ni prenier article)
(voir page î37).
En supposant
fl = X y
( 399 ) la formule (i) (p; 237) donne
tn [tn — 1 ) , o = -c™-' — m [x -h 6)"*-' H i : [x -h 26)'"-'
=p:/7i[.r 4- [m — i)6]'"-'db(^H- wê)'"-'.
Si dans cette dernière on remplace x par x -i- ê et qu'on change les signes des termes de Téqualion résultante, il viendra
o = — (x -h ê/"-' -hm{x-{-2 6)'"-' — '^^H-Hy [x -h 3 g,*"--'
En additionnant les égalités (2) et (3) , on trouve
o ^r-r*"-' — (w+iX^4-6)'"-'-f- ^ — (a: -h .16)'"-'
±: {m H- i) (x + /;/6;'''-' ip[j7-+- (/w 4-1)6]'"-'.
En faisant le même calcul sur l'équation (4), on trouvera évidemment
G = ^•"-' — {m 4- 2) (x -+- by-^ -f- (^-^-^)^^^-^') Çx ^ 2 g)m-.
("' + =*)('" +ll^(x +36)
=p (w -+. 2 ) [.r -f- ( /;/ -h 1 ) 6]'«-' ±:[.x' 4- ( /y/ -h 2) 6 ]'"-', et ainsi de suite. On a donc généralement , en désignant
( 4oo ) par n un nombre entier quelconque plus grand que m,
0 = j:*— /i(x4-6)"H ^ ^(Jf H- a 6/*
ip /i[ar -h (/ï — i)6]r±:(« H- /iC)-;
ce qui établit une relation entre les puissances semblaUes des termes d'une progression arithmétique , en admettant toutefois que le nombre de ces termes surpasse de deux unités, au moins, le degré de la puissance qui leur est commune (*).
Si Ton pose
.r = o et 6=1,
Féquation (5) devient
o = //"*—« (/2 — i)'"H i iin — 2>"
formule connue, que nous n'avons rappelée ici qu'afin de montrer qu'elle est implicitement comprise dans la formule d'Abel.
{*) Le second membre de Téquation (5 ) est, au signe près, la diffé* rence n*»*"' de la fonction x"* dans laquelle on donne à la variable des accroissements successifs égaux à 6. Or on suppose n'^ m^ donc cette différence doit être nulle quelles que soient les valeurs de x et de €.
Ho^ )
OUeSTIOKS.
401. On projette un point d'une ellipse «ur ses deux âxes; démontrer que l'enveloppe de la droite qui joint les deux projections est la développée d'une ellipse.
Même question pour l'hyperbole.
402. On projette orttogonalement un point d'un ellipsoïde sur ses trois plans principaux; trouver Fenveloppe du plan qui passe par les trois points.
Même question pour les deux hyperboloïdcs.
403. Ecrire l'équation d'un faisceau de surfaces qui passent par le point (x^^y\ 2') et par l'intersection des deux surfaces
/{sp.jTy z) = o, ip (x, j, 3) =0.
404. Deux points matériels parcourent d'un mouvement uniforme, avec des vitesses données en grandeur et en direction, deux droites situées dans l'espace^ trouver l'équation de la surface décrite par la droite variable qui passe par deux positions simultanées des points matérie^ls.
