Sî Ton désigne par D le détermînant
cosnoLQ cos(/i — i)ao cos(« — 2)ao.,. cosoao
cos/ia, cos(/i — i)a, cos(/2 — 2) a,... cosoai
cos/taa cos(w — i)aj cos(/î — 2) a,... cosoa,
cos/tan cos(/? — i)a„ cos(/i — 2)a„... cosoa„ et parDi e détermînant
COS" oLq coS"^' ao cos""' a^ . . . coà» a,
cos"ai cos''""'a, cos"'"'a|... cos^a,
COS"a, C0S"~'a2 C0S''~'a2... cos'^aj
cos^an cos''~'a„ cos" '«„..♦ coSoaji
on aura
(Prouhet.)
m. Si Von désigne par D, le déterminant
sin (/? -f- i)a» sin^a,... sina^ sin(«-|-i)ai sin/îa, ... sina, sin(/i4-i)a, sin/ia,... sina.
sin(/?H-i)a„ sin/?a„... sina,
on uni a
D, = 2 ' sin «0 sin a, . . sin a» D, .
(Prouhet.)
412. En adoptant la notation bien commode de M. Cayley, posons lequati on
dont les racines sont Xi, x», Xs v*î ^n« Démontrer les formules suivantes
6fl*2 (j:, — •'^î)'(.^i — .rj)'{x, — .TtY := n^ [n — i) (^ — 2}
' /j« (/z — 3) (b'— acf 4- - (/î' — 5/2 -f- 8) a' (A^— ^c) X (a/? — 4M-t-3c')
X { (7^2 — i5) û'(fl^' 4- r/>' H- r^ — 2 ^fr/ — ace)
X(flg'+ i5er— . lorf» — 6/?/).
Il est très-digne de remarque que la quanlilô
us -^ 1 5 rc — I o r/* — Çyhf
est un invariaul pour les fonctions homogènes à deux va« riables du sixième degré.
(MiGHÀEL ROBERTS.)
Note du Rédacteur, La fonction homogène à deux variables de degré n peut évidemment s'écrire sous la forme
C'est cette forme que M. Cayley représente d'une manière si expressive et si mnémonique par
Si Ton fait
on a une expression à une variable; le révérend M. Roberts a remplacé a^, ^1 , ^t 9 etc., par a , & , c^d,
Cov^ariants et ini^arianls.
Si dans la fonction F on remplace x piar 'kx -^ [ly et y par V X -\-\^' y^ il e^t clair que la fonction garde encore la forme
où les a' sont des fonctions des a et des quatre constantes Soient
une fonction quelconque des a et de x , j", et
la fonction analogue en a' et X^ y\ mais les a' étant des
fonctions des a , il s'ensuit que cette dernière fonction est aussi une fonction des a. Si la fonction <f est prise de teUe manière que l'on ait l'identité
où p est un nombre entier positif, alors la fonction y est dite covariant de F. Si Ton avait simplement la fonction
sans X et sans y et qu'on ait l'identité
alors y est un iriK^ariant de la fonction F. Exemple, Soit
F = tf,j:' -h 3fl, x^y 4- 3 «2 -«j' -h «»/'►
on trouve
«3 = «3 -f- 3 tf 2 fX + 3 «, fx' + «0 ^'.
Prenons
désignons par 4> la fonction analogue en a' \ si l'on y remplace ensuite les a' par leurs valeurs en a, on trouve
p z=z Q ^ et ©=4».
Celle fonction (p jourt donc de la propriété qui la rend un covaviant de F.
Soit
alors
F = ^0-^' -h 2£ï,a:/ -h ûiX'; alors
a\ = fl» V + 2«, XX' -f- «jX'%
«, = ^oV+ û, (Xpt'-f-X'fJt) -+-rtaXV, rt', = rto p' -h 2 «r, fx^' + «a ^'».
Prenons sans x,j^^ alors
et remplaçant les «' par leurs valeurs en «, ou trouve
et (f est un invariant de F ^ si
alors
(vozr la Note de M. Combescure, p. lyS de la Théoiie des déterminants).
SOLUTION GÉOUÉTRIQlie DE LA QUESTION 577 (HARIUSON)
(voir p. 179);
Par m. E. DE JONQTJIÈRES.
Pour abréger, je ne répète pas l'énoncé qui est assez long.
l 'Me vais prouver que les droites AB, Ai Bj, AjBj, etc., concourent en un même point y\ que les droites AC,
( 4"8 ) A,C,, A,C,, clc, uoucouierit fil un même point ^. et enfin que les droites BC, BiC|, }t,Ct, etc., coDCoareut en un même point a.
Les lieux triangles lîA, Bj et AB, Ai sont homologiqucSr parce qne leurs côtés se coupent deux à deux en trois |iomts C , O, Cl situés en ligne droite, savoir :
BA, et AB, en C ; BB, et AA, en O , point de coucour» des trois hauteurs du irJangle ABC; et BiAi et B| Ai eu C,.
Donc (Gèo'ii. sup., n" 366) leurs sommets se trouvent deux à deux sur trois droites AB , A,Bi, A| Bt qui passent par un même point y.
On prouverait de même <]ue Ag , B, passe par te point 7, eu considérant les triangles liomologiques Bi Ai Bi et A,B,As, et ainsi de snitc.
Même démonstration à léganl des deux autres svslèino*
( 4o9 ) de droites AC, A, Ci, AjCj, etc., et BC, Bj Ci, 6s Cs , etc.
2°. Les triangles ABC, AiBiCi sont homologiques. Donc les trois points de concours de leurs côtés homologues sont en ligne droite: ces points sont a , j3 , et y. {Géom, su/?,, \i° 365).
3^. Considérons le quadrifalère ABOC. Les points A,^ Bi , Cl sont respectivement les points de concours de ses deux diagonales et de ses côtés opposés. Donc les deux diagonales Aj A et Ai C sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux droites AiBj, AiC, (Géom. sup,, n^ 346). Or les deux diagonales sont rectangulaires^ donc Al A bissecte F angle B, A, Ci [Géom, siip., n® 80).
Mais cette propriété ne s'étend pas aux autres angles tels que Bs Aj Cj , etc.
Car si l'on considère le quadrilatère AiBiOCi, on aura pareillement Aj Ai et Aj Bi conjuguées harmoniques par rapport à AjBg et A, Cj. Donc si AjAi bissectait l'angle BjACg, Aj B, serait perpendiculaire sur AjA, (Géom, sup,, n^ 80), autrement dit les droites A^a et Al» seraient parallèles, ce qui n'a pas lieu en général.
Note du Rédacteur. On peut considérer OA, OB, OC comme les projections des arêtes d'un angle trièdre et ABC, AiBiCi comme les projections des deux section» triangulaires faites dans le trièdre; dès lors les propriété» géométriques des points a, (3, y deviennent intuitives: moyen de démonstration indiqué par M. Brianchon depuis nombre d'années. L'erreur signalée ici existe dan& le texte anglais que j'ai copié de confiance; il reste à démontrer la partie analytique, la partie essentielle du théorème.
Prochainement une solution complète par M. Richaid d'Oxameudi.
(4io)
