RECUEIL DE FORMULES RE^4TIYES AU CERCLE
(voir page 155);
Par m. J.-Ch. DUPAIN, Professeur au lycée de Carcassonne.
Multiples de sfk.
sJt: z=L I j^-j 245 385 090 55 1 6 -H . . .
a^TT = 3,54 49^ 77^ ^^^ ■+" 3^7r = 5,3i 736 i55 272 —
Ànn, de Maihémat., t. XVI. (Novembre 1857.) ^7
S\IZ=: 8,86 226 925 453 — 6v^=io,63 472 3io 5434- 7y^7r = i2,4o 717 695634 — Sy/ïr = i4>ï7 963 080 724 -f- 9y/7r = 15,95 208 465 8i5 —
L'approximation est d'une demi-unité du onzième ordre décimal. Les nombres trop faibles sont suivis du signe +.
Erreur à corriger dans les multiples A? - (p. i55). Dans -) au lieu du quine 92029, il faut lire 92032.
ÉQUATION D'UNE CONIQUE PASSANT PAR CIN(| POINTS MNNfiS.
1. Soient o-i , jr, x^^j^\ jts, Jsî ^*5 J4^ ^s, J» les coordonnées des cinq points •, l'équation de la conique est
X [(r3 — rO ^ — (^3 — ^4 ) r -+- r4 «3 — ^4 ra X [{y 7 —/a) ^5 — {^2 — ^3 ) Xi-h Xifz — r» -^3
X [(^4 —Xi) ^» — (^4 — ^l)rs-H «^«Tt — ^4 ^t
X [(r* — rt) * — (^4 — j?i)/ + /i ^4 — ^. ^4
X [(/i — rO ^5 — (jfi — ^Or&-^ ^«r^ — /i -«"j
Il est évident qu'on satisfait à cette équation en remplaçant successivement x et y par les coordonnées des
( 4«9 ) poiiils*, elle ïie change pas en permutant muluellement les indices i et 5 , a et 5 , 3 et 5 , 4 et 5.
2. Désignons par a et y les deux facteurs en x^jdu. membre à gauche*, par j3 et cî les deux facteurs en x, y du membre à droit-c;
sont les équations du côté opposé du quadrilatère inscrit ayant pour sommets les quatre premiers points. Si d'un point quelconque de la conique on abaisse des perpendiculaires sur les quatre côtés du quadrilatère inscrit, ^
exprime le quotient du rectangle des perpendiculaires abaissées sur les côtés opposés a , y divisé par le rectangle (35 des perpendiculaires abaissées sur les deux autres côtés, et l'équation montre que ce quotient est constant ; c'est le théorème de Newton. Ainsi ce théorème établi, on peut s'en servir pour écrire tout de suite Téquation d'une conique passant par cinq points. On voit donc pourquoi Newton a pris ce théorème pour point de départ et en a déduit toutes les propriétés des coniques en y joignant le procédé métamorphique employé sous le nom d'homographie dans ce temps-ci ,
3. Si d'un point quelconque de la conique, on mène •des droites aux quatre sommets de quadrilatère inscrit, on obtient un faisceau de quatre droites et quatre triangles ayant pour bases les quatre côtés du quadrilatère ; dans chaque triangle , la hauteur est égale au rectangle des côtés qui comprennent l'angle opposé à la base, divisé par la base, et le tout multiplié par le sinus de cet angle. Faisant usage de ces valeurs dans le théorème de Newton, on trouve une relation entre les sinus des angles du faisceau et qui constitue la constance du rapport anharmonique du faisceau^ propriété qui est
le point de dépari des admirables travaux de M. Chasies sur les coniques.
Ainsi les deux théorèmes sont des corollaires Tun de l'autre.
