Lemme. Soient z/, ^yW trois fonctions linéaires à

tfeirx variables :

V = Pu^ -^ w'p* 4- /î^ fv' — aiHv — bwu — cuv, rU — V = «w(^a -h a) -h wtf (/p 4- b) -h «p(>7 4-^

— r tf ' — m^v* — «' «f*,

a, P, 7,..., a, by c,... sont des constante» données et t une constante arbitraire égalant à zéro les trois dérivées^ de tV — V prises par rapport à u^ u^ Wy on obtient

— 2 7i*«' + p(ra 4-£?) -f- (^P-H^)« = o.

Pour que ces trois équations subsistent simultanément y il faut que le déterminant soit nul \ ce déterminant, qu'on nomme le discriminant de la fonction tU — V est

<7o>^ H- rt.r' -h «j^ 4- «3 = o, oii

«, = /2û2^ w»P'4- /i'7'4-ap7 4- ^«7 -f-caf,

rtj = 2aa/' -f- 2 6p/w' -f- 2C7«^ 4- a^c 4- ^ca -h'^aùy

rt'j =r Pa^ -^ m^b^ 4- «'C 4- «^c — 4^' '"''*'•

2. L'intersection de la droite w = o, avec la conique t\J — V = o, donne

/w'p* 4- «^«" — v<^(ta, 4- fl) = o.

Lorsque cette équation est un carré parfait, l'a droite 11 = o est tangente à la conique, ce qui donne

2 ttin — a

Désignons celte valeur particulière de t par ^i, nous avons

donc

Désignons de même par fi, t^ les valeurs particulières de t qm rendent les droites i^ = o , tv = o tangentes même aux deux coniques ^jU — V = o, t^J] — V = o, nous avons les trois équations

a = 2 mn — a f , , c = 2//W —7^8.

En posant

le triangle m, i^, w est inscrit dans cette conique et circonscrit aux trois coniques :

3. Substituons ces valeurs de a, i, c dans les coefficients du discriminant , on obtient

02=2 2pq -h aP7(^ra4- r^rs +^^i),

£Ï3 = ^» — ap7 r, ^2 /a ,

où V

/? = /a-+-/wp-4-/i7,

^ = 4'* — /ar, — iwp^a — '^V^a»

r = Imn.

Soit

d'après les propriétés d'Albert Girard, on a les rela-

lions

(2) /?» = ûr, — ««A, 2/>^ = aa— a«B, çr'nzflj — fl,C;

d'où Fou déduit

relation qui a été donnée aussi par MM. Cayley et Satmon f mais par d'autres raisonnements.