Soit seulement

^1 = 0; alors

P=Aa-f-A3r,4- A4rJ-f.... , 11 = o est tangent à la conique V == o, et

«0^3 = — 2A»{A2-f- Ajfj -hA4^; +. . Or a,t]t, = — 2A,(A2tl -h Aa^H- A4^;4-. • .)

= — 2 Ao [Ao + A, t, — ( Ao 4- A, ^' 4- A,r^- -f- . . . ) J = — 2Ao[Ao 4- Ai/j — F(^)] {voir p. 4M)j

aot\t,-^ 2Ao(Ao -h A,r3) = — i5AoF(ra); élevant au carré

«S '2 ^3 — 4 «0 Ao^5 ^3 (Ao 4- A, /,)

= 4a;{[F(^,)P~(Ao4-a./:)=|,

( 4^6) mais

d'où

2A0A, =«,, Aj = 7-2-,

F(r,)' — (Ao -hA./,)'==7-î-(4fl«a3f,-|-4fl,fl3 — ûj).

Substituant et réduisant, on obtient

(4) alt\tl — ^a^a^e^ — o.a^a2tiUz= ^a^a^t^ -f-4^i^s— ^!>

si Ton avait aussi

on retombe sur la valeur de U trouvée cinlesus (3).

6. Soit le quadrilatère a&c^?. inscrit dans la conique U == o, et dont trois côtés ai, bc^ cd sont circonscrits à la conique V = o.

Dans le triangle abc^ les côtés ab^ bc sont tangents à la conique V = o et inscrits dans la conique U= o. Donc, d'après ce qui précède, le troisième côté ac sera tangent à la conique aU — V = o, ou

Dans le triangle acd^ le côté cd est tangent à la conique U = o, le côté ac tangent à la conique aU — V = o, le iroisième côté ad sera tangent à la conique uXi — V = o, si l'on a la relation (4), dans laquelle il faut remplacer ^t par la valeur de a, et l'on obtient

Ainsi le quatrième coté sera tangent à la conique 16 a,[%<ua\ -f- a\ -+• 4^'i^-'^0 ^ — («î — ^a^a^yv = o,

( 4t^7 ) et si Toii a

Sa^al ■+- «3 — 4^i^3^3 = o,

le quadrilatère sera à la fois inscrit dans U = o et circonscrit à V = o. Même observation que ci-dessus.

7. Soit le pentagone ai,aj, «3, «4, «5 inscrit dans la conique U=o, et supposons que les côtés «jaj, «sag, «8^*5 «4«5 soient tangents à la conique V = o, le côté «jaj sera tangent à la conique t^l] — V = o. Il s'agit de trouver t^.

Dans le triangle a^a^a^^ le côté «s «4 est tangent à V, on a donc entre ^3 et ^4 la relation (4)

altlt] — 4^o^a^ — 2«o«2^^ = 4«oÛ3^3-l- 4 ^«^3 — ^l'

Dans le triangle aia^a^^ le côté a^oii est tangent à la conique V = o, on a donc encore

«J/J/J — 4«o«3^ — 2flo«2^4^ = 4^«^3^-4- 4^1 «s — basons trayant on a

La première des équations donne

altut]t3 = n\ -^ ^a^a^^ ^a^a^t^, d'où

On connaît ^3 et ^4, par conséquent ^5, et de même pour les polygones de tout nombre de côtés.

Observation, Ce magnifique travail est, à ce que je sache, la démonstration analytique la plus simple qu'on ait donnée du célèbre théorème de M. Ponceletj généralisation du théorème pour deux cercles, auquel le théo rcme général peut cire ramené, puisque, d'après un autre

théorème de M. Poncelet, deux coniques sont les perspectives de deux cercles. La précédente analyse résout cette question : un polygone de n côtés étant inscrit dans une conique; n — i des côtés étant respectivement des tangentes à un faisceau de n — i coniques passant par les mêmes quatre points, trouver la n^^"^ conique du faisceau qui soit touchée par le n**"*" côté du polygone-, or l'on peut trouver les conditions pour que le faisceau de n coniques se condense en une seule conique, l'on a donc le problème Poncelet. Jacobi a rattaché cette recherche aux fonctions elliptiques [Nouvelles Annales, t. IV, p. 377).

(TOlr p. 390) ;

Par m. L. DE COINCY,

Élève du lycée Bonaparte (classe de M. Bouquet ),

Et m. E. CARÉNON,

Elève du lycée Saint-Louis (classe de M. Fauric).

Je désigne par a l'angle donné BAC et par y T angle cherché BAC.

La condition à remplir est