AB'.BB' = AC'.CC

c'siny cos<p = ô'sin(a — <p) cos (a — y),

c^ sin 2 cp = ô' sin 2 ( a — y ) , vi posant 1^ =z(f ^ 10L =(3,

sin\p h^

sin ( p — ^ j c^

( 4^9 ) "Développant et divisant par costp,

*'sinS ,..

On a ainsi pour la valeur de l'angle ^ deux valeurs i^ , i8o + ^, et, par suite, pour ff deux directions rectangulaires.

i*^. Si a = 90 degrés , ce sont les côtés eux-mêmes qui satisfont à la question en général.

a*^. Lorsque i = c, on a

c» sin S S

d'où

3°. Si les côtés étaient b y/ — i , c v — i avec a ^ — i pour angle compris , on aurait

ô»sin(Si/--^) ^*sinB/

c'est-à-dire que la relation entre j^ et a ne changerait pas.

Remarque. Sin jS / est réel , ainsi que cos* j3 i.

Note du Rédacteur, Incessamment une solution de M. Chai Ilot (de Versailles) avec une belle construction, et une solution d'une admirable simplicité par M. Landais (lycée Louis-le-Grand).

(*) Ce qui suit est de M. de Coincy.

Proposée anx examens d'admission à TEcole Polytechni^ve

( TOir pasre 876 } ;

Par m. Marcel JOZON, Élève du lycée Louis-le-Grand.

Trouver le nombre des racines réelles qu'admet IV-

qualîoii

X =2 A sino: 4- B

pour chaque système de valeurs des coefficients A et B, et effectuer la séparation de toutes ces racines.

application à V équation x = 3x4^^ sinx-+- iSj.

La valeur maximum de sina: étant i, la valeur maximum de A sinx -H B est A -h B; de même la valeur minimum de ce binôme correspond à sina: = — i et est

— A + B. (A est supposé positif. S'il ne Tétait pas, on changerait les signes.) Il résulte delà : i*^ que toutes les valeurs de x satisfaisant à l'équation sont comprises entre

— A-t-BetH-A + B^ 2*^ que le nombre des racines est impair, car pour toute valeur de x inférieure à — A-hB, le premier membre de l'équation

X — Asin^ — B = o

devient négatif, et , pour toute valeur de x supérieure à A 4- B, le premier membre de cette même équation devient positif.

On voit de plus que si deux valeurs x^ et arj 4-7: comprises entre — A4-Bet-hA-f-B sont telles que

elles donnent des résultats de signes contraires (*) lorsqu'on les substitue à x dans le premier membre de l'équation

X — A sin a: — B = o ,

et que par conséquent elles comprennent une racine. De plus, dans cet intervalle de j^i à oTi -h tt, la dérivée I — A coso: s'annule au plus une fois 5 il n'y a donc qu'une seule racine comprise entre Xi et Xi H- tt (**). Donc si l'on a la fois

sin(— A-f-B)=±i et

sin{A + B) = ±i (***)

il y aura autant de racines comprises entre — A -f- B et A -f- B , qu'il y a de demi-circonférences dans la différence 2 A de ces arcs.

Si — A-i- B et A-+- B ne vérifient l'équation ni l'un

ni l'autre, le nombre des racines sera exactement

Si — A -h B est racine , A -f- B ne Tétant pas , le nom-

bre des solutions est h i . Enfin ce nombre est