DÉMONSTRATION
D'one Proposition relaiive au calcul Dunériqoe des racines de réqvatioi
ax"^ -h bx -^ c = Oy
qoand a est très-petit. (Progranme officiel.)
Dans une première Note sur celte question du Programme officiel, j'ai énoncé (page i58) la pioposiliou suivante :
Lorsque l'équation considérée
ax^ -\- bx — c = o
a des racines de signes contraires, pour que la méthode des approximations successives donne des valeurs de plus en plus approchées de la racine positive de cette équation, il faut et il suffit qu'on ait :
ac
Je vais cléiuoiitrrr relie urunositiuii.
Dans Tëquation numérique
ax"* -^ bjr — c = o,
les lettres û, è, c représentent des nombres positifs; la racine positive a pour expression
— b -h s/b^ + ^ac 2a
je nommerai x' la valeur exacte de cette racine.
L'application de la mélhode des approximations successives à l'équation numérique considérée consiste en un calcul que je rappelle ici.
1/ëquatiou
ûf.r' i^bx — c = o
donne
En négligeant d*abord le terme % ^'') on a-, pour pré-
mière valeur approchée de x\ le nombre t» que je désignerai par Xi.
En remplaçant x^ par le nombre Xi dans la formule
- — - a:'*, on a, pour seconde valeur approchée de x', le
nombre 7 — - xj 5 je le désignerai par Xf.
De même, si l'on substitue la seconde valeur approchée
x^ à x' dans la formule y — t^'^i îl en résultera une
troisième valeur approchée ^9, et ainsi de suite.
( 438 ) On a donc les égal i lés numériques
Cela posé , cherchons quelle condition doit être remplie par les coefficients a, ft^cpour queXf approche plu» de a:' que Xi,
Les relations
montrent que x^ surpasse x', et comme x^ et jc' sont de» nombres positifs* l'inégalité
donne
et, par suite.
Ainsi, les erreurs commises en prenant pour a:', les valeurs approchées .rj,^:^ sont exprimées par les différences
et , par ronséqurnt. il faut que l'inégalité
•' - ■ -- Xy <.^ Xi ""* t*v
(439) ait lieu pour que la seconde valeur x^ soit plus appro' chée de x' que la première Xi .
Mais les relations
donnant
x' - X, = î (or; - x'») = ^ (^. 4- a') (.r: - ^'),
l'inégalité
se transforme en celle-ci :
et se réduit à
parce que a:, — x' est un nombre positif. D'ailleurs
nab 11 s'ensuit
''rr ,,,^ac—b'-hb^b'^iac
i ( lac l Lac
I ac
ou , en nommant ii le rapport t^ ?
(Up)
Donc r illégalité (i)
revient à
d'où
Ce qui exige que 3 — an soit positif, c'est-à-dîre qu'ion ait
En admettant que cette première condition soit remplie, on pourra élever au carré les deux membres del'inéalité
v[ il en résultera successivement
Or, n <^ - donne
72 — 2 — y'2<<^ Oy
il faut donc qu'on ait
// — 2 + y/2 <^ o ; d'où
n<^2. — s/2, et 7T<.2 — yra-.
De ce qui précède on peut conclure que rinégalilé
ac .-
Il ^^ >
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que Xt soît une valeur plus approchée de x' que Xi.
Car, en supposant que les nombres a^ b^ c satisfassent à la condition
^<2 — v^2, ou //<2 — v^2, on aura
d'où
Et il s'ensuivra a
Il reste à faire voir que si l'inégalité
ac -
existe, tous les nombres a:i, Xj, X3, .r4, etc., convergeronl vers x'.
Bemarquons d'abord que les termes de rangs impairs .Ti, X3, Xs,... auront des valeurs plus grandes que x' et décroissantes, et que les termes de rangs pairs .rj, 0:4, Xe, .. ^ auront des valeurs croissantes moindres que x' ,
En effet, quels que soient «, i, c, on a
^.'i ^ .r' et 0*2 <^ .r'.
En outre, si — esl raoiîidre que 2 — y 2, le nombre .r.
(44a ) sera nécessairement positif. Car, en substituant t i ^ dans Tégalitë
il vient
c a /c\^ c / ac\
ac
Le facteur i — — est positif, puisqu'on suppose
ac
^<^ — ^> on a donc
JC2 ^ o.
Alors de l'inégalité on peut conclure et il en résulte
caca
Oji a d'ailleurs évidemment
L'inégalité
Xi <; .r, donne
parce que Xi et x^ sont positifs -, d'où
ri de
on conclura
et ainsi de suite.
On voit donc que les valeurs de Xi, x^^ x^^ etc., sont plus grandes que x' et décroissent, et que les valeurs de jCt, X4, aTg,.. . croissent en restant moindres que x' , Ainsi, de tous les termes de la suite jtj, Xj, x,,. .., le plus grand esi X\ •
Il est maintenant facile de reconnaître qu'un terme quelconque Xtnjf.\ a une valeur plus approchée de x^ que le terme précédent x^n^ c'est-à-dire que
car
Mais on vient de voir que x^ „ est moindre que x^ \ donc
D'ailleurs l'inégalité supposée
ac
donne
^(.^-'-h^.Xi;
par conséquent , on a
C'est ce qu'il fallait démontrer. (t.
NOTE SUR UNE PROPOSITION DE GÉOMÉTRIE ÉUlEIITAIIL
Théorème. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets d^un polygone régulier ABGDE sur une droite XY menée par le centre O du polygone est nulle, quelle que soit la direction de la droite.
Lorsque le nombre des côtés du polygone est pair, les perpendiculaires abaissées de ses sommets sur une droite quelconque passant par le centre sont deux à deux égales et de signes contraires , il est alors évident que leur somme est nulle. Il n'y a donc lieu à démonstration que dans le cas où le nombre des côtés est impair. Toutefois, la démonstration suivante s'applique indistinctement aux deux cas.
Par les sommets A, B, C, D, E je mène des tangentes à la circonférence circonscrite au polygone coiisidéi*é. Cette construction détermine un nouveau polygone régulier FGHIK semblable au premier et circonscrit au cercle dont le rayon est OA. Ensuite, je conduis les droites OF, OG, OH, OI, OK qui passent par les milieux L, M, N, P, Q des côtés du polygone inscrit. Puis je nomme :
s la somme des perpendiculaires abaissées sur la droite XY fies i>ommels du polygone inscrit ^
j' la somme des perpendiculaires abaissées sur XY des sommets du polygone circonscrit ;
5" la somme des perpendiculaires menées à la même droite par les points L, M, N, P, Q.
Comme les sommets du polygone ABCDE sont les miliieux des côtés du polygone FGHIK, on aura
et de même
puisque les points L, M, N, P, Q sont les milieux des côtés du polygone ABCDE.
Il est d'ailleurs facile de reconnaître qu'en désignant par a le rapport des lignes OF, OL, on aura aussi
Car le rapport des perpendiculaires abaissées des points F et L sur XY sera égal à a. Et le même rapport existera entre les perpendiculaires menées par les points G, M, puisque
