OG 0F OM "" OL

El ainsi de suite. Donc

Si maintenant on substitue 5 à 5' et à s" dans Tégalilé

il viendra

d'où

Mais OL — I n\\sl pas nul , donc

La proposition est ainsi démontrée, quel que soit le nombre des sommets du polygone considéré.

Corollaire I. La somme algébrique des projections des rayons OA, OB,..., OE sur un axe rectiligne XY passant par le centre O est nulle i car ces projections sont précisément égales aux perpendiculaires abaissées des points A , B , . . . , E sur un second axe rectiligne mené par le centre et perpendiculaire au premier XY.

Corollaire II. Si Von décrit ai^ec un rayon quelconque une circonférence ayant le même centre que le polygone régulier , la somme des carrés des distances des sommets du polygone à un point quelconçue de cette circonférence sera une quantité constante.

En effet, nommons r le rayon OA du polygone^ n le nombre de ses côtés ; /'' le rayon de la circonférence décrite 5 S un point quelconque de cette circonférence. Et concevons que des différents sommets du polygone on ait mené des droites au point S , et qu'on ait projeté sur l'axe OS les rayons OA , OB, etc. En désignant parOa, Oi,.«* ces projections , les triangles OAS, OBS, etc., donneront

ou plus simplemeiu

en convenant de considérer les projections Oa, OA, etc., comme positives ou négatives suivant qu'elles seront dirigées en sens contraire de OS ou dans le même sens que OS. Si l'on additionne toutes ces égalités, dont le nombre est n , en ayant égard h ce ([ue la somme algébrique des projcclions OA, OB, etc., est nulle (corollaire I) , on aura

Celte dernière égalité montre que la somme des carrés des distances des sommets A, B, etc., au point S, est indépendante de la position de ce point sur la circonférence décrite. G.

ryoir pape 312) ;

Par m. p. -a. -G. COLOMBIER,

Licencié es Sciences, Professeur à Paris.

Soient

7«,, W2» 'Wj, ffli

les coefficients angulaires de quatre diamètres formant le premier faisceau , et

fA|» Pm f^3? fA4

les coefficients angulaires respectifs des quatre diamètres conjugués formant le second faisceau. Ces huit coefficients

sont tels , que l'on a

le signe supérieur se rapporte à l'ellipse et le signe inférieur à l'hyperbole, a et b sont les demi-axes de la conique considérée.

On sait que le rapport anharmonique de quatre droites concourantes en un même point est égal au rapport anharmonique des quatre points qu'une transversale quelconque détermine sur ces quatre droites. On sait aussi que ce dernier rapport est le même que le rapport anharmonique des projections de ces quatre points sur une droite quelconque, sur Taxe des x par exemple.

Cela posé, Téquation d'une transversale étant représentée par

désignons par

les abscisses des poiuls d* intersection qu'elle détermine sur les droites du premier faisceau. On a

- — - .r, = 9 Xa = — , -^ '

Le rapport anharinonique du premier faisceau est égal à

{X\ — ^^4 j ^ X3 — Xi ) ( «^l -^2 ) V ^i ^4 )

Remplaçons a:,, Xj , JC3, Xi, par leurs valeurs, ce qui donne

■ ■■Ml I ■ « ■ ■ ^ ■ ■ I ^ •

(/W4 — /W3)(Wa — /W,)

D'après la symétrie des calculs*, on voit que le rapport anharmonique du second faisceau est égal à

•— ^— ^— — ^^— ^^>— »— ^^ • (Pi— F3)(P2 — Pl)

Si Ton remplace dans ce rapport fXi , fXj , /utj , jut^ par leurs valeurs en fonction de in^ ^m^^ m^^ m^ , on reconnaît après quelques simplifications que le rapport anharmonique du premier faisceau est égal au rapport anharmonique du second, c. Q. F. D.

Note du Rédacteur. Ce théorème est un corollaire de ce théorème : Soient une conique et un faisceau; chaque rayon du faisceau coupe la conique en deux points ; le faisceau qui passe par ces points d'intersection et qui a pour sommet un point quelconque de la conique est un faisceau en in^olution. Les rayons qui passent par les deux points d'intersection d'un même rayon du premier faisceau avec la conique sont des rayons correspondants* M. de Jonquières fait mention de ce théorème , mais pour les diamètres conjugues seulement. On en déduit inluitivemeiu le théorème général.

(voir page 390).

Pam m. chanson,

Élève du lycée de Versailles (classe de M. Vannson).

Discuter la courbe du quatrième degré donnée par l'équation

y = ^ax -f- ^ax — j:'.

On remarque d'abord que si Ton prend une longueur OA = Il dans le sens des x positifs , et qu'on mène par le

point A une parallèle à Taxe des j^, la courbe est tout entière comprise entre ces deux parallèles. De plus la courbe est symétrique par rapport à l'axe des x , car en rétablissant le double signe devant chaque radical , les valeurs de y correspondantes à une même abscisse sont deux à deux égales et de signes contraires,

y =ril \lax±^x[a — x).

Ann, de Maihémat., t.^XVl, (Décembre 1857.) 29

Je (lîscule donc la pariîe de courbe située au-dessus de Taxe des x

La parabole j = ^x est une courbe diamétrale pour des cordes parallèles aux y. Or^ si je prends à partir du point A une longueur AG égale au paramètre a , la parabole passera en G; en appelant (f la longueur qu'il faut porter en dessus et en dessous à partir de la parabole, on a (p = o pour x = a [*)>,

Donc le point G est un point de la courbe. De même pour x= o^ ona(p=o,et comme entre x = oetx=a (f reste positif, il passe par un maximum, qui s^obtient en égalant les deux facteurs sous le radical , puisque leur somme est constante.

Si donc, au milieu A' de OA, j'élève une perpendiculaire à l'axe des x^ et qu'à partir du point I, où elle coupe la courbe , je porte deux longueurs IK' et IK égales à OA' ou a , j'aurai les deux points de la courbe pour lesquels (f atteint son maximum. A partir de là, et a: croissant jusqu'à fl, L diminue jusqu'à o, il est donc facile de construire approximativement la courbe.

Occupons-nous maintenant des tangentes.

Le coefficient angulaire donné par la formule

tanga = y' [x)

est ici

tanga :

2 ^ax 2 ^a [a — x)

Pour X = o et x = a^ tang ri' = oo , ce qui prouve que les tangentes à l'origine et au point G sont l'axe des j, et sa parallèle menée par le point A.

{*) y = sja{a — x) représente un cercle. Tm.

Si je fais

je ttt>uve

tanga =r — •

Donc les tangentes aux points K et R' sont parallèles , el la tangente de leur angle avec l'axe des x est donnée par la formule précédente. Il est donc facile de les construire.

On peut se proposer de chercher le point de la courbe pour lequel la tangente est parallèle à Taxe des x. Il suffit pour cela d'annuler tanga , et on trouvera en même temps la valeur de x pour laquelle l'ordonnée correspondante est maximum.

Posons donc

a a — IX,

tang a =^ G ou

sjax \ax — x' ou, en réduisant au même dénominateur et simpliflant^

et la valeur correspondante de y est j y/S. On prendra donc

on élèvera par le point A'' une perpendiculaire à l'axe des a:, et, à partir du point où cette perpendiculaire coupera

la parabole, on portera une longueur = — j— •

La tangente au point S est parallèle à l'axe des x. Si Ton considère la branche de courbe OKG, il est fa-

rile dr >oir que laug a reste toujours positif: il doit passer par un minimum entre x = o eix= a.

Ce minimum correspond à un point d'inflexion, et on l'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée de tanga.

On peut vérifier quelques-uns des résultats précédents par une autre méthode.

Si nous coupons la courbe par des parallèles représentées en général par

les abscisses des points d'intersection nous seront données par Téquation du quatrième degré

Dans cette équation il manque un terme entre deux de même signe , ce qui nous permet d'affirmer rexistcnee de deux racines imaginaires. Une parallèle à Taxe des x ne coupera donc jamais la courbe plus de deux fois.

On voit aussi qu'il est des valeurs de h pour lesquelles elle ne la coupera pas du tout 5 car si l'équation précédente a deux racines réelles, celle que Ton obtiendra en égalant k zéro la dérivée du premier membre, aura toujours une racine réelle, mais cette racine devra donner un résultat négatif. Si on la substitue à x dans Téquation en .c*, puisqu'une des racines de cette dernière est comprise entre H- 00 et celle de la dérivée, et Tautre entre celle-ci et — 00 , en résolvant l'inégalité on trouverait une valoiir maximum pour //.

L'équation en x'' fait voir également que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des x*^ car pour deux valeurs de // égales et de signes contraires, elle est identiquement la même.