SUR LA CONSTRUCTION
Des raciies de réqaatioa da qHatrièoie degré par Tintersection d'tuie
parabole et d'os cercle ;
Par m. Jules VIEILLE.
Soit réqutilion (i) .r^ -^ pjo^ -f- qjo-^- r =: o,
dont on se propose de construire géométriquement les racines.
Le moyeu le plus simple consiste, comme on sait, ù employer la parabole ayant pour paramètre Funiié, et le cercle. A cet effet, on pose
En remplaçant x^ paï'jK dans l'équation (1), on a
(3) J=^ + py -\r qx-\- r—o,
puis si Ton ajoute membre à membre les équations (2) et (3) , il vient
(4) 7' -4-^' -h [p— ')r+ qx -Jr r=i o,
équation d'un cercle dont les points d'intersection avec la parabole représentée par l'équation (2) ont pour abscisses les racines de l'équation (i). Mais ce cerclci n'est pas toujours réel. Si l'on écrit son équation sous la forme
:^H-'-?^)v(..iy=!£^^'-.
on voit qu'il sera imaginaire toutes les fois qu'on aura
( 45/f ) Et alors se préseuteut ces deux questions :
I " . Quand le cercle défini par l 'équation ( 4 ) est imaginaire, r équation (i) a-t-elle ses racines imaginaires?
^^é Réciproquement, quand Inéquation {i) a ses racines imaginaires, le cercle est-il toujours imaginaire?
La réponse à la première question est affirmative : toutes les fois que le cercle est imaginaire^ il est vrai que Féquation (i) a ses racines imaginaires. En efifet, à une valeur réelle de x qui vérifierait l'équation (i), correspondrait une valeur réelle de y tirée de T équation (2); et comme les solutions du système (i) et (a) vérifient nécessairement Féquation (4), il s'ensuivrait que tette dernière admettrait une solution réelle, ce qui est contre rhypothèse.
Ainsi, quand l'inégalité (5) aura lieu, on sera certain que l'équation proposée n'a que des racines imaginaires, et, par conséquent, toute autre combinaison de lieux géométriques réels serait inutile à cherclier, en vue de construire ces racines.
II n'en est pas de même de la seconde question : de ce que l'équation (i) a ses racines imaginaires ^ il ne s'ensuit pas que le cercle défini par l'équation (4) soit nécessairement imaginaire. On conçoit en effet que, pour certaines valeurs des coeflîcients p^ q^ r, le cercle, quoique réel, puisse ne pas couper la parabole, dont l'équation ne dépend pas de ces mêmes coefficients. Pour éclaircir ce point, attachons-nous à l'équation plus simple
dans laquelle le terme en x'^ manque. La condition pour qu'elle ait ses quatre racines imaginaires est aisément fournie par le théorème de Sturm. La voici
OU , ce qui revient au menue,
(6 '•>Kf)'
D'autre part, l'inégalité (5) se réduit , pour p = o, h
D'après ce que nous avons dënioutré plus haut, Tinégalité (6) doit être une conséquence de l'iuégalité (7). C'est ce que nous allons d'abord vérifier, en faisant voir qu'on a toujours
ou
4(i -hq^Y — 27 <7* >o.
En effet, si l'on développe le cube et qu'on pose
le premier membre de cette inégalité prend la forme
et l'on reconnaît que z = 2 le réduit à zéro 5 de plus , le quotient par z — 2 est encore annulé pour z = 2 ; en sorte que l'on trouve
Par suite, en rétablissant q^ à la place de z. , on voit que l'inégalité précédente peut s'écrire
Sous cette forme, elle est évidemment satisfaite pour toute valeur numérique de 9 , à l'exception de 7==t y/2>
(456) double valeur pour laquelle le premier membre se réduit
à zéro. Quaud on suppose q =.dt. ^2, les in^alités (6)
et (7) s'accordent à donner j pour limite inférieure
de r.
En résumé, lorsqu'on cherche à construire les racines de l'équation du quatrième degré par Tintersection de la parabole x* = y avec un cercle , et qu'on rencontre un cercle imaginaire, Téquation proposée a aussi ses racines imaginaires. Mais cette analyse prouve que la réciproque n'est pas vraie : que si Téquation
x^ -h qx -\- r = o
a ses racines imaginaires , le cercle sera néanmoins réel tant que /• aura une valeur positive comprise entre 3(7]
el — 7--^* Ces deux limites coïncident quand on a ^'=2;
et, dans ce cas, pour toute valeur de r supérieure à jj
le cercle et les lacincs de Téqualion proposée sont imaginaires à la fois.
(voir page 311);
Par m. chanson,
Élève du lycée de Versailles ( classe de M. Vaimson ).
Si l'équation est de dégreva//*, et si ses racines peuvent se partager eu
( 457 ) couples donnant la même somme 2Sy l'équation
admettra la racine s , et ses autres racines se partageront en couples donnant la même somme 25.
Si l'équation (i) est de degré impair, ayant une racine égale à 5 et toutes ses autres racines pouvant se partager en couples dont la somme égale 25 , les racines de Féquatîon ( 2) se partageront aussi par couples donnant la même somme 2s,
Dans le premier cas , les équations
et dans le second les équations
auront en commun la racine s.
Je m'occupe d'abord du premier cas. Puisque les racines se partagent par couples donnant la même somme 25, le polynômey(a:) peut se décomposer de la manière suivante
J'(x) =z [x — a)[x — (2s — a)](x— à)[x — (2^ — b)], . . ou bien
/(x) =[x^ — 1SX -h a {2s — a]]
X[x^ — 2SX -^ b{2s—- b)].
Prenant la dérivée d'un produit suivant la règle, j'ai
\jc^ — 2 SX -^ a [2s — a) x^ — 2SX -^ b {2s — b) J Je remarque d'abord que l'équation
admet bien la racine 5, puisque/' (x) est divisible par (x — s).
De plus , si ayant supprimé le facteur commun (x — 5), je considère l'équation composée d'une sommie de produits
[j?' — 2^0? -h a (2^ — a)][a:^ — 2sx.-^ b {^s — ^)]. . . =0,
je vois que le premier membre ne change pas quand on y remplace x par us — x. Si donc un nombre a:' est racine ,2^ — x' le sera'aussi, et les racines se distribueront bien par couples donnant la même somme a^ , conmie il fallait le démontrer.
Je passe au second cas.
Le polynôme peut se mettre sous la forme
/x = (x — s)[^^ — 2SX -h a (2^ — a)]
donc
rx = -^-^ 2(0;— j)/r
X — s .2?' — a SX -^a (2 s — a)
Comme précédemment, si je remplace dans ce polynôme X par [2s — x), il ne changera pas de valeur.
Car dans le premier terme les deux ternies de la fraction changent de signe en conservant la même valeur absolue. La fraction reste donc la même.
Il en est de même des autres.
Ainsi donc encore, si un nombre x' est racine de Té-
c[uation
18 — x' l'est aussi. Autrement dit, les racines de cette équation se partagent par couples donnant la même sonmic 25 : ce qu'il fallait démontrer.
Or maintenant/' r est im polynôme de degré pair,
dont les racines se partagent par couples donnant la même somme 2S, Donc , d'après la première partie du théorème,
admet la racine 5 , 5 est de degré impair.
Et les autres racines se distribueront par couples donnant la même somme 25. Donc, d'après la seconde partie du théorème, l'équation
sera de degré pair et ses racines jouiront de la même propriété. On en conclura encore que l'équation
admet la racine 5.
Alors on voit que si /(a:) = o est de degré impair, les équations .
admettent en commun la racine s, :
Et on ferait voir de la même manière que sif(x) est de degré pair, les équations
/^(:r) = o, /-(^) = o, /v(.r) = o,..: admettent la racine 5.
