SOLUTION DE LA QUESTION YIII DE M. P. DE LAFFITTE

(voir page î06) ;

Par m. LEGRANDAIS, Élévo du 4y<;ée Saint-Louis (classe de M. J. Vieille).

Soit un triangle ABC^ oa joint le centre G du cercle

inscrit au milieu M de AB, et par le poinl C on mène CI parallèle à GM , et on prend sur cette parallèle CI= 2GM. Il s'agit de démontrer que la plus courte distance du point I au cercle. circonscrit de centre O est égale à ar;

r élant le rayon du cercle inscrit (*). Ainsi

IR = 2 r.

En effet, si je mène la médiane CM, cette ligne coupe la ligne GI en un point D tel, que Ton a

GM

cT

DM

cd"

Donc le point D est le centre de gravité du triangle ABC. Cela posé , je remarque que si je mène OD et que je prenne DH = 2OD, le point H sera le point de rencontre des trois hauteurs et le milieu K de OH le centre de la circonférence qu'on nomme en géométrie la circouférence des neuf points. Or on sait que la distance des centres des cercles inscrits et circonscrits à un triangle <îst une moyenne proportionnelle entre les diamètres du lercle circonscrit et la distance du centre du cercle iu-

(*) La li{ïnc IDG ne coïncide pas avec OKH.

Tm

scrît au cciiire du cercle des ueuf points [Nouvelles An^

nales^ 1. 1, p. 79 et 199).

On a donc

0G^ = 2RXGK.

Mais

OG'=:R(R— 2r);

donc