THEOREME D'EULER SUR L'AIRE DU SECTEUR PARABOLIQUE

(Toir tome XV, page 18;.

4 cos' — y 4 ^^s* "" ?'

on a

4rr'sin,?-ô ^ 2

7^ -H r' — 2COS - ô i^rr'

inn. de Mathémul., t. XVI. (Janvier 1857.)

Sz=z

égale aire du segment parabolique compris entre r et Taxe.

S. =^[(2^-4-;^) s/^^p — p'Zf.{2r-hp)s/^rp — ;?»] égale aire du segment compris entre r et r'.

4r I v^ — cos-0 v^/

r 4- r' — 2 cos - 0 Jrr^

r + r' — 2 COS--9 sf/T^-h 2 '*' sin' - G

/^ -f- r' — 2 COS - $ i/rr'

On a des expressions semblables pour 4'*' — pet ar'-H//.

Jr — cos -Qsfr

est négatif, et

Vr' — cos-ô v'^'

est positif. Donc

2 \/r ( ^r — cos - ô ^r' | t /r-hr' — 2C0S-Ô \//^r'

y/^r-^pz

a V^r' ( v^r' — cos - ô y'''* )

^ir'^p:

-+• r' — cos - 0 ^rr '

Substituant ces valeurs dans Si , on à

À = r' ir-^r' — 2 cos - 9 \frr' 4- 2 r sin' - \ 2 ?.

'^ =zr Ir -h r' — 2C0S-Ô ^rr' -h ti / sin*- ô

x(v^ — cos=j ôv^T^j s/n

C = ( r 4- r' — 2C0S - G \/rr' ) ;

A-|-B=/r-+-r' — 2cos~0 )/?p\

X I ('•-h r^Y — (r-4-r')cos-0 v^/r' —^rr' cos'-ôl

= ( r 4- >•' -♦- cos - 0 y/rr 1 ( r 4- r' — 2 cos - 0 V^//' J > tl'où

s, =^ ( r-l-r, 4- cos-0 v^j \ P {'*•+•'•' — ^cos-e V'^'*'»

Observation. On parvient au même "résultat en sùppo- ■sant y et ç' de sîgwes opposes.

Soit s la longueur de la corde qui joint les extrémités des rayons vecteurs r et r' •, on a

2 cos - 0 ^frr' =± V(r-f-r')» •— ;y*,

le sig^e superieuT lorsqu'on a o <]ô<^ 180, et le signe

înférieni pour 1 80 <^ 0 <^ 36o. Donc

X V/? [ /• + r ' zp V'( r -h r ' ) -' — 5 ^ ]

rar

doit être positif.

Faisans

=r rf, = r,

OU aura

i. = g[./H-.±(î|)'][rf:î:.]A^.

d'où

Telle est la belle expression de l'aire du secteur parabolique trouvée par Euler [MîscelL Berolin,^ t. VII ^ p. 20). Mais Euler n'en a tiré aucun parti, et le théorème était tellement oublié, que Lambert croyait l'avoir découvert, ainsi qu'on le voit dans son ouvrage : Insi'gnio^ res orbitœ cometarum proprietates, Aug. Viudelic. , 1 761 , § 83 , et dans ses Beitrage, partie III, p. 257, 1765, et depuis on a en effet attribué le théorème à Lambert. C'est M. Gauss qui a revendiqué les droits d'Euler [Motus theoriœ p/anet.y p. 119; 1809). Il est pourtant vrai que Lambert est le premier qui ait étendu le théorème à l'eU lipse et à l'hyperbole.

M, Gentil, chef d'institution, a publié en i854, che?:

(37) Mallet-Bacbelier : Démonstration d'un théorème de Lambert par la géométrie , in-8 de 8 pages. Cette démonstration est fondée sur des théorèmes énoncés dans un programme de l'université de Dublin (Noin^elles Annales, 1847, ^' ^ï ' P- 4"*^^^? "^* 5-12).

(voir. t. XV, p. 290) ,

Pau m. L. ARMEZ,

Klèvc du lycée Loiiis-le-Grand .

Soient A et B les centres des deux cercles donnés , KH' et HK' les tangentes intérieures communes, KH la tan-

gente extérieure commune aux deux cercles Â et B ^ JQ mène les rayons AC , BD aux points de contact C et D des tangentes intérieures.

Les triangles semblables OAC, OBD donnent

OC AC, OD~BD' on a d'ailleurs

OD = OB T~ Ba

( 38 ) Multipliant ces^deux égalités membre à membre , il Yienl

OC .CD = ^ . Ob' -- AC .BIX

aC.0D4- AC.BD = — .OB.

AC Maïs on peut l'emplacer le rapport — ^ par le rapport

=-rr qui lui est égal , et Fou a

(«) OC.OD-f-AG.BD = AO.OB.

Cela posé, je joins le centre A au point K où se cou^ pent la tangente extérieure KH et la tangente intérieure KH,'^ je mène également BH' du centre B au point d'intersection de KH' avec K' H' qui est une seconde tangente extérieure commune^ j'achève le quadrilatère AKBH' et je remarque qu'il est inscriptible.

En effet. AK étant bissectrice de l'angle BKM, on a l'égalité d'angles

AKH' = NKH on a d'ailleurs BKH' = BKH

d'où AKB =BKN

On démontrerait de la même manière que l'angle AH' B. est droit.

Le quadrilatère AKBH' ayant deux angles opposés droite est inscriptible , et l'on a