OC.OD-+- AC.BD = KO.OH

Ce qu'il fallait démontrer.

Note, MM. Legraudais, élève du lycée Saini-Louîs, A. Raimbeaux, leP.Rorlielle, S. J., et au anonyme ont résolu la question de la même manière.

Obse/\^afioîi , M, Legraudais donne encore une solution trigonométrique.

SOLUTION DE LA QUESTION 327 (PKOliHET)

(TOlr l. XV, p. Î30);

Par m. Ch. MOREAU,

Élève du lycée Saint-Louis ( classe de M. Kriot),

Et le p. ROCHETTE, S. J.

Si les racines d'une é(juation du qualiième degré sont de la forme p*^ ^', p^ -+- 2/^/7, ^' -f- ^pÇi les racines de la dérivée sont rationnelles.

Formons Téquatioii du quatrième degré ayant pour racines p', ^7', p* -+- 2/;<7, </* -f- "^PÇ-

Le coefficient du terme eu x^ est égal à la somme des racines changée de signe , et, par suite, à

Le coefficient du terme en x^ est

P' g* H- P^ (P^ -h 2pfj)'j- p^{q^ H- 2/9</ ) -h q'{p' -h O.pq) 4- 7'(7' + 2/>7)

Ce coefficient peut s'écrire ainsi :

{p +■ 7V -^ ^P1 iP' -^ ?' '^ P'i)^

Le coefficient du terme eux sera

Ir^p'ip''-^ 2/?7 (7»-+- 9.pg)-hf/'{p'-^2pq) (V-f- '>pq)A

En le transformant, il se met sous la forme

Le terme constant est égal au produit des racines. L'équation du quatrième degré sera donc

jr' — 1 {p + 7 j'x' -+- [(/^ -H 7)' -^ ^'/^7 [P' -+- 7' -+- P7}] ^'' -~9.pf/(p -H r/)^ (;.»'+ q^-^pq).T

L'équation obtenue en égalant la dérivée à zéro est

pq{p-hgY(p' -^ q^ -^ pç)

Je dis maintenant que les racines de cette équation soat rationnelles et de la forme

Il est facile de le vérifier.

En effet, le coefficient ( p -f- </ )* est égal à la somme

de ces trois racines prise en signe contraire. Le terme constant est égal à leur produit changé de signe.

De plus , le coefficient de x peut se transformer ainsi :

= ^^^^y.p'-^ 7'+/^7) -^- ^-^^-' (/>7) ^p^ip'-^g'-^Pi).

et sous cette forme on voit que c'est la somme des produits deux a deux des racines supposées.