THÉORÈMES
Snr les équations contenaes dans le Ars magna de Cardan (1545).
(COSSALI, t. II, p. 325.)
1. m étant une quantité qui vérifie V équation , elle est dii^isible par x — m.
Cardan connaît ce théorème pour le troisième degré et le démontre ainsi.
Soient
x^ = px -!-(/, x!^ -{- m^ ^=zpx 4- ^ -h /?/2 ;
x^-^wi^ est divisible par a:-|-w; le second membre donne pour quotient p et pour reste m^ — pni — </, qui est zéro par hypothèse: de là Cardan déduit les deux autres racines. Mais il ne considère pas le cas où les trois racines sont négatives [Pratica gêner, aut,, cap. LI).
2. Le coejficient du deuxième terme est égal en grandeur à la somme des racines [Ars magna, cap. XVIII).
Toujours appliqué seulement au troisième degré; il sait même que lorsque x* manque , la somme des racines positives est égale à la racine négative, ou la positive égale la somme des négatives. [Et palet etiam quod omnes
modii addùioncm semper reforri ^ossunt, ifuainvisminuSy cum addiUir, vicem gerat plus, cum detrahitur. )
3. Le deimier terme connu est le produit des racines. Cardan ne connaît pas ce théorème; il a pourtant uiie foule d'exemples et de passages qui font voir qu il avait un pressentiment non exprimé de ce théorème. Cela provient de l'usage du temps , qui ne permettait pas de transporter tous les termes dans un seul membre; il fallait n'avoir que des termes positifs dans chaque membre, usage venu des Arabes.
Racines posïtii^eSy négativeSy imaginaires.
Il appelle les positives racines vraies^ et les négatives Taicmcs feintes, fausses.
Cap. X\III. De régula falsum ponendi. Il résout des problèmes où il adopte pour incoimue une quantité négative en posant l'inconnue égale à — x.
Racines réelles et imaginaires.
Cardan distingue deux genres de racines fausses, les négatives et les racines carrées des quantités négatives cl un troisième qu'il explique obscurément, et on voit qu'il
s'agit de — a — s/ — b où les deux faussetés sont réunies; il donne un exemple, mais dont le résultat est inexact.
Une équation de degré pair na aucune racine réelle ou en nombre pair.
Cardan connaît ce théorème pour les équations du second degré et ses dérivées x^'"-i- px'"- = q.
Une équation de degré impair a toujours un nombre impair de racines réelles.
Cardan connaît ce théorème pour le troisième degré; il trouve que les équations
x^ -f- 7 ~ p.r^ x'' -f- pji: ^-- q ,
(3, ) ont trois racines réelles si — p'^^q ou =7, et n'en ont
qu'une si —p^<^q.
ar-^qzzz nx^ , x^ -f- nx^ = q ont trois racines réelles si ~ «' }> you= 17, et une seule si
Relations entre le nombre des racines positii^es et négatii^s et les signes fies termes.
Cap. I de TArs magna. Cardan dît que dans les équations
x^=z px -i- 7 , .r' 4- px = 7 , .r^ -h nx^ = q ,
j?* + nx^ H- px = q y .r' = /2j:' H- /?j; -h ^ ,
.T^-j- 7îa:' = /xr -+- j, x^-i-px = q,
il n'existe qu'une seule racine réelle positive 5 et il change les racines positives en négatives, et v(ce versa, en remplaçant X par — X. Il étend même ce théorème à
X* -f- mx^ ■+■ nx"^ = ^ 5 x^ -\- moc^ + nx^ z=: px -h q»
Cardan connaît la règle de Descartes pour le troisième et quatrième degré, quelques cas exceptés.
Racines égaler.
Cardan , dans l'équation
dit expressément qu'elle a deux racines égales -f- 2, -h 2 et une racine fausse — 4«
Transformation des équations.
Voici comment Cardan réduit la résolution de Téqua-
lion "
à celle de réquation
et vice versa. On a
q = px — ar^ = «* — pzj
d'où
px -^ pz =z z^ -^ x^ ^ p7= z^ — arz -h x' ;
connaissant z , on connaît donc or, et v/ce versa. Résolution de Cardan des équations du troisième degré,
1°. x"^ -^ px = ^,
comme et d'après Tartaglia.
s>.". x^ = px -I- y,
comme et d'après Tartaglia.
3°. . a:^ -4- ^ z=z pXj
la ramène à -z* = ^z -f- ^,
4"- a?^ = nx^ -h 7,
il fait a: = z -j- ^ n et revient à la forme 2* = ^z + ^.
5°. a:^ + nx^ = 7,
il fait x=z z — - /î : ainsi x = z'^ — w, d'après Louis
Ferraro.
.r^ -f- <7 nx"^ ,
il fait a' — •
7". o:^ 4- fiX^ -j- />^ =r <7,
.r-' H- nx"* px -\- q ,
