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2.r 2a|-f- a, /, 2^/,-f- 2 a, /,+ a, /j 2«,-f- 2a, /,4- 2 aj/j + aj/j 2^ 2è,-f-P. /, 2j,+ 2p,/,-4- p,/j 2^>,-f 2p, /,-H2pa/,-4-p3 4 23 2C, -+-71/1 2C,-f- 27, /,-h yj/a 2C,+ 27, /,-+- 272/2 -f- 73 /s

OU, en transformant ce déterminant par des théorèmes très-connus ,

4{r— ^) P»/2-f-P3/3 P../3H-P./. p,/. H-P:/2 "^ ^* ,4(2— c.) 7a/jH-73/3 73/3 4- 7. ''i iJi^'t^h

En observant de quelle façon cette équation renferme les éléments qui composent les coordonnée» des sommets de l'hexagone , on voit que la même équation représente aussi le plan passant par les milieux des côtés (4) 3), (5,6), (6, i). Donc, etc.

Question 322.

S'oient in le nombre des côtés du polygone^ a^, i^, c^ les coordonnées du sommet /'*'""' 5 Ir la longueur du côté (/', r-h 1)5 a^, j3^, y^, les cosinus des angles de ce côté avec les axes. En supposant que r soit un des nombres I, 2) 3,..., /i, on a

«r = fl| -+- ûEi A -f- «s /a ■+- . . . -h «r-i tr-x i

donc

ar -+- «/n-r = 2 ^, H- a, Z, -t- «j /, -f- . . . -+- «* /« ,

c'est-à-dire a^ ~\- /7„^^ est indépendant de r ; analoguement pour b^ -+- b,,^, et c,. + c„^.

Je considère le point dont les coordonnées sont

ces coordonnées satisfont évidemment aux équations de la droite (r, ik-¥- r) , qui sont

X Or y hr Z Cr

flr ^n-i-r ^r ^n-t-r ^r ^n-\-r

et satisfont aussi aux équations de la droite qui joint les milieux des côtés (r, r-f- i) , (« -f- r, ;/-+-/•-+- i) , savoir

IX — Hr /7r4-l 2 J br b

Il ■ fc I ■ «

donc le point nommé est commun à toutes les droites qui joignent les sommets opposés et à celles qui joignent les milieux des côtés opposés , et le même point est le milieu de chacune de ces droites.

( volr:i. XV, p. 190 );

Par lb P. H. ROCHETTE, S. J.

Un triangle rectangle ABC est équivalent au rectangle des deux segments Ba et Ca faits sur Thypoténuse par le point de contact a du cercle inscrit.

Soient r le rayon du cercle inscrit et S la surface du triangle. On a, j3 et y étant les deux autres points de contact,