On doit à Lagrauge le procédé indiqué dans tous les

C) \oir JSoui'elles Annales, t. III, p. 5i, i8/|/|; Roger.

(67) Traités d^ Algèbre pour ramener la résolution d'une équation qui a des racines ^ales à celle de plusieurs autres équa^ tions de degrés moindres , dans lesquelles chaque racine n'entre qu'une seule fois. M. Ostrogradski a énoncé dans les Comptes rendus de T Académie des Sciences (19 mai i856) deux propositions remarquables qui conduisent à deux solutions nouvelles et élégantes du même problème.

Nous nous proposons , dans cette Note , de démontrer et d'appliquer ces deux théorèmes, et de rectifier l'énoncé de la question 332.

2, Théorème I. Soient X, P, Qi , Rj un polynôme entier de la variable x; le plus grand commun diviseur à ce polynôme et à sa dérii^ée X'5 ef les quotients

Concevons le premier membre de l'équation

décomposé en facteurs correspondants à ses racines , et désignons par Çi^ q^j ^s , ^4 les produits des facteurs de chaque d^ré de multiplicité pris chacun une fois ^ nous aurons successivement

V^i qt ^3 Ci I \7i 72 7j 74

Donc le plus grand div^iseur commun aux polynômes Q, et Ri — Q'i est précisément le produit qt des facteurs simples du polynôme X.

De plus , si Von désigne par Q, et R, les quotients

on a

Qa = q% ^3 qi 9

\q^ qj

Donc 7e plus grand diviseur commun aux polynômes Q, et Rf — ^ Q', est le produit qi des facteurs doubles deX.

Et l'on verrait de même que si Ton désigne par Q^ et Rs les quotients

le plus grand dii^iseur commun aux polynômes Qs tt Rj — Q'j e5f /e produit qs des facteurs triples r/e X.

Ainsi de suite.