application numérique

X = ar« — 7^' — 2x« H- i i8x* — î-.Sgx* — 83 j:*

-i- 6i2x* — loBx — 4^2, X' = 8j:" — 49*^* — ^^^'' "+■ 590X* — io36x*

P = x* — 7-^*^- i3x -f- 3j:— iS, Q, = or* — i5x' -h loa: + 24, Q', ==: 4 -^^ — 3ox -I- I o , R. = 8x^4- 7x» — 67x-t-6, R, — Q', = 4-^^ 4- 7 ^* — 37 x — 4 »

«7,=::f-4-4> Qj = J7^ — ^u:^ -j- x -f- 6 ,

Rj = 4^' — 9-^ — ^ ?

<7j=jc' — X — 5i := (jr -4- l)(x — 2),

7* = -^ — 3 ; donc

X = (jc-4-4)(jt;- — a; — 2)2(x — 3)\

4^ En opérant ainsi, on déleroiine successivement les divers produits qi, ^s ? 7» 9 7* à Taide-de ceux qui précèdent. La proposition suivante permet d'obtenir immédiatement le produit des facteurs d'un degré quelconque de multiplicité.

Théorème II. X, P, Q, , Rj ayant fa mente signification que ci-^IessiiSy le plus grand diviseur commun aux polynômes Qi et Rj — AQ', est précisément le produit qj des premières puissances des facteurs de X dont le degré de multiplicité est k.

En effet , on a successivement

Qi = qiqtii- ■ • ç». . . 9«j.

(2) R.-..tQ;=Q, { ^; •

qk^x

et il suffit de comparer les relations (i) et (2) pour voir que le plus grand diviseur commun à Qj et à R, — ArQ, est qi,

5. jipplication numérique. Mêmes valeurs deX, X'> PjQ'.jRi qu'auB^ 3.

Q, = j:* — i5x^ 4- lOJC 4- 24,

R, — Q', = 4-ï^+ 7X»— 37^: — 4> R, — 2Qf, = 7x» — 70?— i4,

5rj = x» — *— 2 =:(j?+ l)(x— .2), ,

6. L'énoncé de la question 332 [voir t. XV^p. 24Î) doit être rectifié.

Mettons, en effet, les polynômes M et N sous la forme

D'après le théorème II, le plus grand diviseur commun aux polynômes Qj et Rj — AQ', est M^Nj^ îl n'est donc égal à N que dans le cas où N est le produit des puissances premières des facteurs de X dont le degré de multiplicité est A, et M le produit de tous les autres facteurs de X. Ainsi modifiée, la question 332 ne diffère pas du théorème II.

(TOir l. XV, p.888);

Par m. Eugène ROUCBÉ.

y(ar)=:o est une équation algébrique à coefficients entiers; sif(o) et/(i)|sont des nombres impairs, l'équation n'a aucune racine entière. (Gauss.)

Si f(x) admettait une racine entière a, le quotient

'^ . ■ ■ aurait tous ses coefficients entiers , car le premier

terme du diviseur ayant pour coefficient l'unité , la division ne peut introduire aucun dénominateur. Par suite, la valeur numérique de f(x) pour toute valeur entière de X serait divisible par la valeur correspondante de X — a ^ et en particulier les quotients

seraient entiers. Mais Tun des deux entiers consécutifs a — I , a est pair -^ donc l'un des nombres f(o) , ^"(î) serait pair, ce qui est contraire à l'hypothèse.