I .r, /, 3, I ar, jr, 2, I X4 r

^2— Jf| J'i—J^l «8— «I

«1 Pj 71

fivA,

et par analogie

6pj = vX

= v)lB,

6p, = >fit

crVC

JTj — J?i ^2"""^! Zj — Z| «ï p3 73

«i Pi 7i

«1 — ^1 ^2 — ri «a — »i «i Pi 7i

A , B , C sont des quantités connues ^ d'où

I P| H- «^2 -h i'j fAv A + vXB H- >p C

gT ^t^i Pi Pz ^ptv y ABC

Mais les points O, A, B, C étant dans un même plan on a

I «s JTi «s

I «» rs «*

Ann. de Mathcmai,, t. WI. (Mars 1857.^

remplaçant x^ par "ktXi -\- x^ ^ j^ par A(3i -*-^i> -^s pw

iy, -+- ^1 , etc., on obtient

a, pi 7i

fitv A -f- vXB 4- X|* B = X|xv

donc

«2 Pa Va «3 % 73

v/abc

quantité indépendante de X, |:ji, v.

C'est ce qu'il fallait prouver.

SOLUTION ANAIYTIQUE DE LA «UESTION 34»

(voir. t. XV, p 467) ;

P/LR LE P. H. ROCHETTE, S. I.

Étant donnés une conique dont les foyers sont F et F' et un point quelconque M dans le plan de cette conique y si l'on mène MF rencontrant la conique en A et B et MF' rencontrant la conique en C et D , on aura

MA~MB MC~MD

le signe — répondant au cas où le point M est extérieur. Ellipse, Soit

l'équation de la courbe; par le centre menons. deux diamètres respectivement parallèles aux sécantes données AB et CD. Leurs équations seront

y = ntjr , jr =z m X

et celles des sécantes parallèles qui passent par les foyers seront

(3) j = iw (.r-l-c), y— m' {ar.-- c).

Si nous désignons par d et ^Mcs demi -diamètres et par [x'y y')^ [x"^ y") les coordonnées des points où ils rencontrent la courbe, nous aurons

et, en éliminant (a:', y') , {x"^y") entre ces deux équations et les, équations (i) et ( a) ,

d'où

Désignons par S et S' les longueurs AB, CD des sécantes données et exprimons S et S' en fonction des coordonnées

des points où elles rencontrent la courbe. Les abscisses de ces points nous seront données par les deux équations suivantes :

(a^ m^ -h ^') .^' -+- 242^ m^ ex 4- à^m^c^ — «'6' = o, Nous aurons donc

Xi -—' X = — — î^— ^ -—^ -^

d'où l'on tire, en remplaçant. c* par sa valeur a* — A' 6;i

( 84 ) réduisant,

On obtient (j?, — Xt')* en changeant m en m' dans l'expression (6). On a ainsi

(7) (''-^'^--[^w^iirT'y

Il est facile de passer du carré des différences des abscisses à celui des ordonnées ; car les équations (3) donnent

ri — y, = 'W (.r, — x',),

et il vient

(8) (^.-.yj.= ______

Faisons la somme des expressions (6) et (8), (7) et (9) et extrayons les racines carrées, nous obtiendrons S et S':

d'où

cl, à cause du rapport commun aux relalions (5) et (la),

( 85 ) Mais on a (Briot et Bouquet, Géométrie analytique y page 377)

MA.MB d}

MC.MD ~ rf''"

Nous aurons donc, en remplaçant ^ par sa valeur,