AB MB ± MA MA.MB CD "" MD ± MC ~ MC.MD

MA ~ MB MC ~ MD '

et on voit facilement que le signe — doit être pris dans le cas où le point M est extérieur,

Hyperbole. La démonstration serait absolument la même , à quelques signes près qui changent dans les formules intermédiaires.

Parabole, Dans la parabole , l'un des foyers s'éloignant à Tinfini , l'une des sécantes menées par le point M devient parallèle à l'axe, MB devient infini et l'on a

MA MC MD

(voir t. XllI, p. 815 );

Par m. L. PAINVIN,

Docteur es Sciences mathématiques.

Soit

l'équation d'une courbe quelconque-, par un point P

(86) (a, (3) pris dans son plan menons des normales qui la rencontreront, par exemple, en m points Ai, Aj,..., A.m{*)y si {^i^Ji) sont les coordonnées d'un quelconque A,- de ces points , ces coordonnées seront données par les équations

(3) F(x.;jr,)=0.

Si nous désignons par/z,- la distance du point P, (a, ^) au point A,, (a:,,j>^,)^ on aura

Supposons qu^on établisse entre les longueurs rii de ces normales la relation

(5) <p («,, fia, /ï;i,. . . , /la,) = O.

Si Ton substitue dans l'équation (5) les valeurs des a?/, ji , déduites des équations (2) et (3) en fonction de a et |3,on aura le lieu des points P pour lescpiels cette relation est satisfaite.

Le coefficient angulaire de la tangente à la courbe P sera donné par l'équation

'^ r/(p cùii ,û v* ^? d^i ^ drii doL ^ ^d dui d^

si Ton remarque que l'on a la relation

^ dxi dV dyi __ dxi doL dyi da. '

qui devient, en Vertu de l'équation (2) ,

(*) Si p est le degré de la courbe, alors m = p*. Tu.

trouvera que

dni

— JT,

par

un calcul semblable

d/ii

d^ ni

rii ayant la valeur (4)*

On aura donc pour le coefficient angulaire de la tangente à la courbe P au point (a , jS) la valeur suivante :

I df^

21 </(p ^ Ri "dïti

da y^ I dff

2àWidi^/*

fi ; — L

^é m drii

Considérons maintenant un point Q ayant pour coordonnées [a^b) et désignons par /, la distance de ce point au point A. , de sorte qu'on aura

(7) l]==[a-XiY^{b-yi)\

Déterminons le lieu des points Q par la condition que la relation

soit satisfaite, f étant la même caractéristique que dans l'équation (5).

La courbe P sera donc déterminée par les équationr. (2), (3) , (4) et (5) entre lesquelles on éliminera les x, eiyi ; la courbe Q sera déterminée par les équations ( 2 ) , (3), (7) et (8) entre lesquelles on éliminera les x^ et r«.

(88) A chaque point (oc , ^) de la courbe P correspondra une courbe Q (*).

Pour obtenir le coefficient angulaire de la tangente à la courbe Q en un point quelconque (a, b) ^ remarquons que les Xi et fi ne sont fonctions ni de a ni de i; on a donc immédiatement

dli a — Xi dli b — Xi da fi db li

et , par conséquent ,

I di

^ li dli

TiTli

da ^ÊTK I d

Or si Ton fait

il en résulte

21 dff li dii

// = ni.

on arrive alors facilement aux conclusions suivantes :

i^. La courbe Q passe par le point (a, P), car pour a = a et i = |3, l'équation (8) se trouve satisfaite en vertu de l'équation (5) ; d'ailleurs ce résultat était évident à priori.

2**. La courbe Q touche la courbe P au point (a , jS); car si l'on fait

{*) Dans la courbe P,les points A varient ; ils sont fixes dans la court>e Q.

Tm.

( 89) les équations (6) et (9) montrent que l'on a

db d^ dâ'^di'

donc les deux courbes ont la même tangente au point

3^. Si Ton suppose que les points Â, aient dés masses

respectivement égales — V-' quon compose ces masses

comme des forces parallèles et qu'on désigne par G le point d'application de la résultante , je dis que la normale à la courbe P au point (0^^^) passera par le point G. En effet, le point G a pour coordonnées

JmÊà rii dfii

rii drii

Vi--Î.

^M m diii

I di

L'équation de la normale à la courbe P au point (0^9 /3) est

-7^ ayant la valeur (6) , X et Y étant les coordonnées courantes. On voit immédiatement que l'équation (11) est véi ifiée pour X = Ç et Y = ïj , Ce qui démontre la pro position énoncée.

Lorsque

(9o) A' étant une constante, alors

c — If;

le point G est le centre de gravité des points Ât , Âf 9...,

Lorsque y = V '^i — A* = o ,

^ ni

Lorsque (j) = «, , «, ,..., w„ — A' = o,

2 fi

Ç = ji-,

ce qui fournît deux autres théorèmes analogues à celui qui est énoncé dans la question que je traite.

4*^. Si l'on suppose que les points A, aient des masses

respectivement égales a 7 jtt-» qu on compose ces masses

comme des forces et qu'on désigne par Gi le point d'application de la résultante, la normale à la courbe Q,

(91 ) ftu point quelconque (a, 6) passera par le point Gi.

Pour les mêmes points Âi , A, ,..., A^ correspondants au point (^ 9 (3) de la courbe P, le point Gi variera en même temps que le point [a^ b) sur la courbe Q correspondante au même point (a , ^ ).

Pour démontrer la proposition, remarquons que le point Gi a pour coordonnées

21 dff

iidi/'

>li =

I dff

21 nf lidli

L'équation de la normale au point quelconque (a, £) est , o\ db X — a

db *

-j- ayant la valeur (9) , X et Y étant les coordonnées courantes. Il est évident que l'équation (i3) est vérifiée pour

XrsÇ, et Y = Yi^.

Lorsque y = ^ n? — fc* = o.

2ri 1»

alors le point Gi coïncide avec le point G ; donc toutes les normales à la courbe Q passent par le même point G ; donc , dans ce cas , la courbe Q est un cercle qui a son

(90 centre en G , et qui a pour rayon la distance da point G au point (a, h)-

Le calcul direct conduit au même résultat. Eu effet, Téquation de la courbe Q est , dans ce cas.

Or cette équation , en ayant ^ard à l'équation

lieu des points P , peut se mettre sous la forme

^ iJTi m

ce qui vérifie parfaitement l'énoncé précédent.

5^. Le lieu du point Gi s'obtiendra en éliminant a et b entre les équations (8) et (ii).

Dans le cas de

ce lieu est le point G.

Le lieu des points G s^ obtiendra en éliminant ce et |3 entre les équations (5 ) et (lo).

6°. Il résulte de la proposition 2^ que la courbe P est l'enveloppe des courbes Q (*).

On peut d'ailleurs vérifier cette propriété par le calcul

Application.

Prenons pour la courbe (i)

(*) Car ( a , /3 ) est un point quelconque de la courbe P. Tm.

( 93 ) et supposons

Les (jT,, Yi) seront donnés par les équations

(a — x)/ + ;?(p— r) = o, qui peuvent se mettre sous la forme

Soient yi^ Jt^ /» les trois racines de la première des équations (i4) etoTi, jt», x^ les valeurs correspondantes données par là seconde *, on aura , sachant que

En s' appuyant sur les formules qui donnent la somme des puissances semblables des racines en fonction des coefficients , on trouve

Xi +r> 4-^8 = 0, . rî-»-rî + r3 = — 4/^(/'-^«)i

Jfi 4- ^2 -4- ^3 = — (r î +^2 -4- r?) = — 2 (/? — a) ,

L'équation de la courbe P sera donc

(i6) a»H-3p^H-4/?a= ip^-{-k^\

c'est une ellipse dont l'un des axes principaux est dirigé suivant Taxe des a: (*).

On trouvera facilement

La courbe Q est un cercle dont le centre sera donné par les valeurs (17) et son rayon est égal à la distance du point (a, (3) au point (|, n). La courbe Q aura donc pour équation

(18) |^«^-|(«-+-/.)jVA' = i(«~2;,)^+p^

Les coordonnées du point Gj seront

Le lieu des points Gi s'obtiendra en élimina(bt a et t entre les équations (18) et (19) , ce lieu est donc un point déterminé par les équations (19).

Le lieu des points G s'obtiendra en éliminant a et /3 entre les équations (16) et (i j)-, ce lieu est donc la droite yj = o , c'est-à-dire l'axe des x , ce qui constitue une propriété remarquable dont il est facile de donner l'énoncé.

Les propriétés générales que nous venons d'établir subsistent non-seulement pour des courbes algébriques , mais encore pour les courbes transcendantes telles, que les normales menés d'un point quelconque à la courbe sont en nombre fini (**).

(*) Lorsque la courbe donnée est une conique quelconque, la courbe Pf dans le cas actuel , est aussi une conique. Th.

{**) Dans une courbe transcendante, les normales sont toujours en nombre infini, en comprenant les nonnales imaginaires et celles qui sont

THÉORÈME DE M. BRIOSGHI

(voIrt.XV,p. 868);

Par m. a. GENOCCHI.

La question générale de M. Brîoschi se résout bien facilement.

Soit une équation algébrique

soient a et ]3 deux de ses racines , p la somme de toutes les autres , q leur produit, r le produit des différences de ces 71 — 2 racines prises deux à deux ; soient seit les produits formés avec les différences entre a ou (3 et chacune des autres n — 2 racines ; enfin désignons par A le produit des carrés des différences de toutes les n racines deux à deux , et par/*' [x) la dérivée àef{x). Nous aurons

( \/a = (p — 0L)rst.

Ces équations donnent

Httaisy (a) , y (j3 ) étant une fonction symétrique entière de a et |3 , s'exprimera rationnellement à l'aide des équa-

Mtuées à rinfini ; on ne saurait en faire abstraction dans l'analyse. Il serait intéressant et facile d'étendre ces recherches aux surfaces. Th.

lions (i). On aura donc

a + p et a— -P,

et, par suite, a et |3 exprimés rationnellement en fonction des autres racines : ces racines y entreront par l'intermédiaire des trois fonctions p, q^ r, dont les deux premières sont symétriques, et la troisième n'a que deux valeurs égales, mais de signes contraires.

Pour Téquation du troisième degré, on n'a qu'à faire

i désignant une des racines.

PAa M. DE ROCHAS,

Élève k rÉcole préparatoire de Sainte-Barbe.

Étant donné le volume d'un secteur sphérique, trousser la valeur extrême de raire totale. Discussion du problème.

Le volume d'un secteur sphérique est égal au produit de la hauteur h de la zone qui lui sert de base par un

facteur constant ^ ttR* ; par suite, si le volume est donné, h est une quantité constante.

{ 97 ) •Donc, pour connaître les vai'îalione de Taire totale du secteur engendré par le secteur circulaire ACO tournant autour de BO , aire qui a pour mesure

27rR/t -h7rR(AB + CD),

il suffit d'étudier les variations de AB -H- CD.

Or, si nous appelons x l'angle AOB et j l'angle COB , la question revient à rhercherle maximum de

(i) R(sin.r H- sin/) = wi^

sachant que

(2) R (cosx— cosj) = A.

Comme les angles x et jy ne peuvent varier que de o à 180 degrés, leurs sinus seront toujours positifs; par suite, au lieu de chercher le maximum de m , on peut chercher le maximum de m*.

Elevant au carré les équations (i) et (2) et les ajoutant, il vient

2R' (ï -H sin X s\ny — ces a; cos / ) = iw' -f- A^ ou

/«*== 2R»[l — cos(^-h j)]— A*.

Dans le second membre, il n'y a que cos (x-\-y) qui soit variable; il est clair que m} sera maximum quand

cos [x +JK) s^^^ ^g^^ ^ — ' • Mais alors

,Tc-\- y=z 1 80**, /w =: R (sin j; -h sinjr ) = 2R sin^c, A = R ( cos JF — cos j) = 2 R cosa: , d'où

cos;f=-— -> sm:c=^-=^ — •? m := v4R — ^•

Ânn. de Mathémat., t. XVI (Mars 1857.) 7

(98) Remplaçant h par sa valeur en fonction du volume V

donné , il vient

V^ \2'TrR7 2irR'

Remplaçant m par sa valeur dans Fexpression de la surface ciiercliée , on a pour cette surface s

F"* Tr

On voit que la condition de possibilité du problème est

V<|,rR^

QUESTION PROPOSÉE Alix EXAMENS D'ADMISSION A L'ECOLE NAVALE (1850);

RisoLVE PAK MM. SAUGE kt CLUTE, Élèves de l'Institution Loriot.

Troui^er deux nombres entiers dont le rapport sait égal à la différence^