SOLUTION DE M. SAUGE

J'appelle x eiy les nombres cherchés. On aura

d'où

(99) Acluellomenl je pose

Il en résultera

(a + 1? «^ •+- 7rt -f- I 1

Or X doit être en lier, donc - est entier : il s'ensuU

fl= I,

it, par conséquent,

SOLUTION DE M. CLTITE.

L'équation

lonne

De ce que x est entier, il résulte quej^ — i doit diviser ;^*. Or j^ — I est premier avecj^ qui est le nombre entier immédiatement supérieur à [y — i). Il s'ensuit que r — I est premier avecj^*. Donc y — i ne peut divisera ' qu'autant que j — i est égal à i, D'om

«t , par conséquent ,

Note. L'équation générale est

'(rH-^)=/(r),

a ^»t un nombre et /désigne une fonction entière à coef^

/(y) ficients entiers. L'opération amène le résidu frac-

( lOO )

tionnaire — - — , et il y a autant de solutions que le nombre entier p a de diviseurs, Tunité comprise. Tm.

QUESTION D eXAHEN D ADMISSION A L ÉCOLE POLYTRCENIP

ReconnaUre à priori que Véquation

xy -{- yz -^ xz z=z o

représente lin cône droit à base circulaire [les coordonnées étant supposées rectangulaires).

Lorsque les axes des coordonnées sont rectangulaires, toute équation du second degré

symétrique par rapport aux trois coordonnées x ^ j, z, représente une surface de révolution autour de la droite x = z, y = z'^ en supposant toutefois que cette équation représente une surface. C'est ce que nous allons démontrer. Remarquons d'abord que l'équation proposée

étant, d'après l'hypothèse, symétrique par rapport aux deux coordonnées x , j^ 1(î plan qui divise en deux parties égales le dièdre que forment les deux plans coordonnés ZX, ZY est nécessairement un p\An principal. En effet, nommons iM un point quelconque de la surface et a, &, c les coordonnées X, j'^, z de ce point; l'équation

admettra la solution

Désignons par M' le point symétrique de M par rapport au plan bissecteur considéré; les coordonnées jc, y, z de M'auronl pour valeurs i, a, c. Or il est supposé que Téquation

/(•^iJ, z) = o

conserve les mêmes solutions lorsqu'on y change x en j* et y en or; donc on peut conclure de ce ((ue cette équation admet la solution

x=.ay y 7= b ^ z'=:Cy

qu'elle admet aussi la solution

Ainsi le point M' appartient à la surface, et, par conséquent, le plan bissecteur a: = j est un plan principal de la surface.

On démontrera de même que les deux plans bissecteurs jC = ^, j- = ^ sont des plans principaux.

Cela posé, menons un plan perpendiculaire à l'intersection [^x=: z^y = z^ des trois plans principaux en un point quelconque C de cette droite. Ce nouveau plan coupera les trois premiers suivant trois droites passant par le point C et qui seront des axes de la courbe déterminée par son intersection avec la surface. Cette courbe du ^econd degré ayant trois axes est nécessairement une circonférence dont le centre se trouve au point C sur la droite x = z ^ y = z. Il en résulte que Téquation proposée

représente une surface de révolution autour de la droite

X=Z,J=zZ.

( loa )

De ce principe, on conclut immédiatement que le cône représenté par l'équation homogène

xy -\- yz -{- .rz =. o est un cône de ré^lution dont l'axe a pour équations