I -I- hi^ (4) cos^' = Dcosa' ou D = T

Ainsi la courbe est l'intersection d'une sphère el d'un cylindre circulaire droit de diamètre D el passant par le centre de la sphère.

Comme

donc : 1**. Si D est plus grand que 2, ou obtient l'ellipse de Cassini;

1^^ Si D est compris entre i el 2 , alors la courbe est fermée avec inflexion;

{ 107 ) 3°. Si D = I, on a la lemniscate de IJernoullî \ 4^. Si D <[ I, on a les deux ovales avec un demi petit axe imaginaire.

TflÉORIE ANALYTIQUE DE LA PERSPECTIVE-RELIEF;

D'APRès M. AUGER,

Professeur à Dantzig.

{ÂHron. Nachr., t. XXXVIII, p. 906; 1864. )

1 . Soient donnés : i° un système de n points ayant pour coordonnées respectives a?i, j'i , ^i , Ts, j^j, ^8 v- î ^nt y^y Zn'^1^ n plans parallèles Aj , A j , . . . , A„. Par l'origine et les n points menons des droites ; désignons par x\ , y^ ,

^'t9 ^ajjr'a' ^?V9 ^\njn') ^n l^s intcrscctions respcctivcs de ces droites avec les plans A^ , Ag , . . ., A„ ; on aura aussi un second système de n points. Supposons que Ton a ces relations

ax -{- hy -\' cz -^^ d

mx -h ny -\' pz-^- q

mx "h ny -\- pz -^ q a"x -\- b'^y-^c^z-hd

mx -h /iy -h pz -+• q

où les x^Yj z sont les coordonnées d'un point quelconque du premier système et X, Y, Z les coordonnées correspondantes du deuxième système. Ces relations étant homographiques , on sait qu'à trois points en ligne droite dans le premier système répondent trois points en ligne droite dans le second système; à quatre points dans un même plan du premier système répondent quatre points dans un même plan du deuxième système.

( toS) 2. Supposons que Ton n'ait que deux plans A^, A, parallèles au plan des xz et donnés par les équations

et si Ton a les relations

p — cc + X

le point X, Y^ Z est dit l'image bas-rclicf du point x^ y^ z , l'œil étant placé à l'origine des coordonnées. Etant donnée l'équation d'une surface

l'image bas^relief de cette surface est une autre surface

Si les deux plans se confondent , alors /3 = a et

on a la perspective ordinaire sur un seul plan, et les trois dimensions sont figurées par deux dimensions.

Si jS — a, intervalle de deux plans A,, Aj, devient infini , alors

X = ar,

( I09 ) c'est-à-dîre Timage se confond avec l'objet, et on a la ronde bosse; dans tout autre cas, les dimensions sont altérées (*).