On donne cinq tangentes A, B, C, D, E

Z*"* Solution. Les tangentes C, D, E déterminent sur A et B deux divisions homographiques. On obtient donc une sixième tangente quelconque passant par un point pris sur A, enjoignant ce point au point homologue de la division marquée sur B.

Si l'on prend pour ce point le point de concours (A^ B) des deux tangentes A , B , on obtient immédiatement le point de contact de la courbe avec A ou B, suivant qu'on regarde ce point comme appartenant à B ou à A . On peut ainsi ramener la question à celle des cinq points.

//* Solution, Quatre des tangentes données forment

(.18)^ un quadrilatère circonscrit. Qu'on prenne sur la cinquième un point quelconque a et qu'on le joigne aux quatre sommets du quadrilatère ; le sixième rayon , conjugué à la cinquième tangente dans Tinvolution que ces quatre droites déterminent, est une tangente issue du point a.

Supposons qu'on veuille trouver le point de contact t de la tangente B. On considère le quadrilatère formé par les tangentes A , C , B dont deux côtés se confondent en un seul suivant B, et dont (A , C), (A, B), (B, C) et t sont les quatre sommets. Le sommet t est inconnu , mais les six rayons qui aboutissent au point de concours I de D et E, savoir D, E,I(A,B), I(B, C), I(A,C), U sont en involulion , et cinq sont connus. Il sera donc facile de déterminer le sixième, et, par suite, le point cherché t,

IIP Solution, On détermine aussi une sixième tangente quelconque au moyen du théorème de M. Brianchon .

Si l'on veut, au moyen du môme théorème, trouver le point de contact t de la tangente B et que abcde soit le pentagone formé par les cinq tangentes données, on joindra ad et be qui se coupent en O 5 la droite cO ira couper ae, c'est-à-dire B, au point cherché t.

Nota, Dans le cas de la parabole, la cinquième tangente est dotmée implicitement; c'est la droite à rinfini* Les quatre qui sont données forment un quadrilatère. Par les sommets de ce quadrilatère, on mènera quatre parallèles dans une direction arbitraire; on les coupera par une transversale quelconque sur laquelle on cherchera le point central de Tinvolution qu'elles y déterminent, et la parallèle aux autres droites, menée par ce point, s^ra. su.r une cincjiiième tangente.

Cette construction dérive, sans difficulté, de la deuxième solution.