On donne quatre points et une tangente

n suffit de trouver un cinquième point, et la question sera ramenée à la première.

Z*** Solution, Soient abcd le qifadrilatère donné et e le point de contact inconnu de la tangente. Soient a, a' et |3 , (3Mes points où cette tangente rencontre respectivement les côtés opposés du quadrilatère. Ces points déter* minent une involution dont e est un point double. Il sera donc facile à trouver. Mais on voit que la question a deux solutions.

Nota, Dans le cas de la parabole, la tangente est à Tinfini. Soit S le point de concours des côtés opposés ad^ bc du quadrilatère donné. Qu'on mène Se' et S J' parallèles respectivement aux deux autres côtés opposés. On a quatre rayons Se', Srf', Se, Se? issus du point S, qui, conjugués deux à deux , déterminent une involution. Chacun des deux rayons doubles de cette involution est parallèle à l'axe d'une parabole qui satisfait à la question .

Soit cX une parallèle à l'un de ces deux rayons doubles menée par le point e pour lequel on veut, par exemple, trouver la tangente e^ à la parabole dont eX est un diamètre. Les deux faisceaux Xa, X6, Xe, Xcî (celuici formé de rayons parallèles) et ca^cb^cd^ et sont homographiques. Si l'on prend les points de concours inverses a', b' des rayons homologues, la droite a'b' sera parallèle à la tangente en e , parce que les deux points a' et b' sont en ligne droite avec le point où la tangente et rencontre la tangente en X, c'est-à-dire la droite située à l'infini.

//• Solution. Soit et la tangente donnée dont le point de contacte est inconnu. On peut regarder la figure comme un hexagone dont les côtés opposés sont ab^ ed] be^ dc^

etj ac. Le point / , où la tau génie donnée rencontre le côté ac j est connu. Soient a et |3 les points de concours de ab avec de et de cd avec be respectivement. Les point» a, j3 , t sont en ligne droite , par la propriété de lliexagone inscrit. Il s'agit donc de mener, par les deux points fixes b et J, deux rayons b^^da qui se coupent en e sur la tangente donnée et tels , que les points a , ^ et ^ soient en ligne droite. Ces rayons sont évidemment deux rayons homologues de deux faisceaux homographiques qui marquent sur les côtés ab ^ cd^ respectivement deux séries de points pareillement homographiques. Si Ton joint le point t à ces points , on formera autour du sommet t deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles fourniront TuD et l'autre une solution de la question proposée.

Nota. Dans le cas de la parabole, la tangente el esta Tinfini , la construction reste d'ailleurs la même, et chaque rayon double est un diamètre d'une parabole qui satisfait à la question. ^ ■