On donne quatre tangentes et un point

/'■* Solution. On détermine une cinquième tangente en cherchant les rayons doubles de Tinvolution qui est déterminée par les quatre rayons, conjugués deux à deux, qu'on obtient en joignant le point donné aux sommets du quadrilatère formé par les quatre tangentes données. Chacun des deux rayons doubles est une tangente à la conique^ on a donc d^^ux solutions distinctes.

Nota. Pour la parabole, on donne un point et trois tangentes, la quatrième est à Tinfini. La solution est la même. Deux des rayons de Vinvolution sont parallèles respectivement à deux des tangentes données.

//" Solution, La figure représente un hexagone circonscrit abcdef. Les côtés ab ^ bc, cf^ af sont donnés de di^rcclion, ainsi que le point d. 11 s'agit de mener parle

( ,ai )

point d une droite ede qui rencontre les côtés indéfinis bc elfe en c et e respectivement et telle, que les droites be et cf se croisent en un point de la droite ad.

Or il est évident que si Ton fait pivoter la droite ce autour du pointa, les points variables c et e marqueront sur bc elfe respectivement deux divisions homographiques. Les faisceaux formés par les rayons variables ke^fc sont pareillement homographiques , et il en sera de même des deux divisions de points que ces rayons marquent sur la droite ad. Si l'on détermine les points doubles de ces deux divisions^ chacun d'eux étant joint aux points b et/*, fournira une solution de la <juestion.

Nota. Dans le cas de la parabole où la tangente /è, par exemple , est tout entière à l'infini , voici à quoi se réduit la construction générale. On mène par le point donné d une droite quelconque qui coupe le côté indéfini bc au point y. Par ce point , on mène parallèlement à af une droite qui coupe ad en a', et par le point b , parallèlement à r/y, une droite qui coupe ad en a. Les points a , a' appartiennent respectivement à deux divisions homographiques dont on cherche les points doubles e , ç. La droite de , parallèle à 5 e , est tangente à Tune des deux paraboles qui satisfont aux conditions proposées. La droite dc\ parallèle k b(f^ est tangente à la seconde.